৬. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric ratios)

ব্যাখ্যা: sin x = cos x ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4 (0 ≤ x ≤ π/2 ব্যবধিতে)।

ব্যাখ্যা: θ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে, তাই cos θ = −√1 − 144/169 = −5/13। tan θ = sin θ/cos θ = (12/13)/(−5/13) = −12/5।

ব্যাখ্যা: sin(ax + b) এর পর্যায় 2π/a; এখানে a = 4, তাই পর্যায় = 2π/4 = π/2।

ব্যাখ্যা: θ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে, তাই cos θ = −3/5 (ii ভুল)। tan θ = −4/3 ⇒ tan²θ = 16/9 (iii সঠিক)।

ব্যাখ্যা: −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ −2 ≤ 2cos x ≤ 2; cos x এর পর্যায় 2π। cos(−x) = cos x, তাই লেখচিত্র y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।

ক) দেওয়া আছে, 7sin²θ + 3cos²θ = 4 বা, 7tan²θ + 3 = 4/cos²θ বা, 7tan²θ + 3 = 4sec²θ বা, 7tan²θ + 3 = 4(1 + tan²θ) বা, 7tan²θ − 4tan²θ = 1 বা, 3tan²θ = 1 ⇒ tan²θ = 1/3 ∴tanθ = ± 1/(√3) (দেখানো হলো)

খ) AB চাপের দের্ঘ্য = rθ = 3 ×2.5= 7.5 একক ∴AOB বৃত্তশলাটির পরিসীমা OA + OB+ চাপ AB = 3+3+7.5 = 13.5 একক ∴ বালকটি 5 সেকেন্ডে অতিক্রম করে = 13.5 একক ∴ বালকটি 1 সেকেন্ডে অতিক্রম করে = 13.5/6 একক = 2.25 একক (প্রায়) ∴ বালকটির গতিবেগ 2.25 একক/সেকেন্ড (Ans.)

গ) OAB বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল r²θ/2 = ((3)² × 2.5)/2 = 11.25 বর্গ একক ∆OAB এর ক্ষেত্রফল = 1/3 × 3 × 3sin2.5° = 4.5 × sin(2.5 × 180°/π) = 2.6931 বর্গ একক (প্রায়) ∴ R অংশের ক্ষেত্রফল = 11.25-2.6931 =8.5569 বর্গ একক (প্রায়) ∴1 বর্গ একক টাইলস করতে খরচ হয় 6000 ∴R অংশটি টাইলস করতে খরচ হবে (8.5569×6000) টাকা। = 51341.4 টাকা (প্রায়) (Ans.)

উত্তর: দেওয়া আছে, 7sin²θ + 3cos²θ = 4 বা, 7tan²θ + 3 = 4/cos²θ বা, 7tan²θ + 3 = 4sec²θ বা, 7tan²θ + 3 = 4(1 + tan²θ) বা, 7tan²θ − 4tan²θ = 1 বা, 3tan²θ = 1 ⇒ tan²θ = 1/3 ∴tanθ = ± 1/(√3) (দেখানো হলো)

উত্তর: tanα + cotα = sinα/cosα + cosα/sinα = (sin²α + cos²α)/(sinα cosα) = 1/(sinα cosα) = secα cosecα (দেখানো হলো)