১. বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা (Real number and Inequalities)

ক) (|a|+|b|)² = |a|² + 2|a||b|+|b|² = a² + 2|ab|+b²[∴|a|² = a²,|b|² = b²,|a||b| = |ab|] ⇒ (|a|+|b|² ≥ a² + 2ab + b²[∴|ab| ≥ ab]) ⇒ (|a|+|b|² ≥ a² + 2ab + b²[∴|ab| ≥ ab]) (দেখানো হলো)

খ) দেওয়া আছে, aɞ Ǫ b∈R\Ǫ ধরি, a + b∈Ǫ বিপরীতকের অস্তিত্বশীলতার স্বীকার্য থেকে সকল a∈Ǫ এর জন্য একটি মাত্র a∈Ǫ পাওয়া যাবে যার জন্য a + (−a) = 0 হবে। ∴(−a) + (a + b) = (−a + a) + b [সংযোজন যোগ্যতা] = 0 + b = b∈Ǫ কিন্তুb∈R\Ǫ [দেওয়া আছে] ∴a + b∉Ǫ ∴a + b∈R\Ǫ (প্রমাণিত)

গ) দেওয়া আছে, ∈Ǫ এবং b∈R−Ǫ তাহলে, বিপরীতকের অস্তিত্বশীলতার স্বীকার্য থেকে, সকল a∈ Ǫ এবং a ≠ 0 এর জন্য একটি মাত্রa⁻¹∈Ǫ পাওয়া যাবে। যার জন্য a⁻¹a = 1 হবে। ধরি,ab∈Ǫ তাহলে a⁻¹(ab) = (a⁻¹a)b = 1.b = b∈Ǫ কিন্তু b∈R\Ǫ [দেওয়া আছে] ∴ab∉Ǫ ∴ab∈R\Ǫ (দেখানো হলো)

উত্তর: (|a|+|b|)² = |a|² + 2|a||b|+|b|² = a² + 2|ab|+b²[∴|a|² = a²,|b|² = b²,|a||b| = |ab|] ⇒ (|a|+|b|² ≥ a² + 2ab + b²[∴|ab| ≥ ab]) ⇒ (|a|+|b|² ≥ a² + 2ab + b²[∴|ab| ≥ ab]) (দেখানো হলো)

উত্তর: পরম মানের সংজ্ঞা থেকে আমরা পাই, |a| = উদাহরণস্বরূপ, |7| = 7,|−7| = −(−7) = 7 এবং |0| = 0 ∴ দেখা যাচ্ছে যে, ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য যেকোনো সাংখ্যিক মানের জন্যই উহার পরম মান ধনাত্মক বা শূন্য অর্থাৎ |a| ≥ 0. পরম মানের জ্যামিতিক প্রতিরূপ: জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে বিচার করলে a-এর পরম মান হচ্ছে বাস্তব সংখ্যারেখায় 0 বিন্দু থেকে a বিন্দুর দূরত্ব। a> 0 হলে হলে অতএব,|a| < 5 এর অর্থ, মূলবিন্দু 0 থেকে a বিন্দুর দূরত্ব 5 এর কম অর্থাৎ বাস্তব সংখ্যারেখায় a এর অবস্থান -5 এবং 5 এর মধ্যে।