৩. জটিল সংখ্যা (Complex Numbers)

ক) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 7 বর্গ একক বা, (1/2)hx = 7 ;hx = 14 (Ans.) এখন ত্রিভুজটির অতিভুজ= √h² + x² একক ত্রিভুজটির পরিসীমা= 12 একক। : h + x + √h² + x² = 12(Ans.)

খ) 'ক' হতে, h + x− = 12 = √h² + x² বা, h + x − 12 = √h² + x² বা, (x + h − 12)² = (−√h² + x²)² বা, x² + h² + 144 + 2xh(−12) + 2(−12)x = h² + x² বা, x² + 2xh + h² − 24x − 24h + 144 = h² + x² বা, 2xh − 24x − 24 + 144 = 0 বা, 2x.14/x − 24x − 24 × 14/x + 144 = 0 বা, 28 − 24x − 336/x + 14 = 0 বা, 28x − 24x² − 336 + 144 = 0 বা, 28x − 24x² − 336 + 144x = 0 বা, 24x² − 172x + 336 = 0 ; 6x² − 43x + 84 = 0(Ans.)

গ) Diophantus এর প্রাপ্ত সমীকরণ, 6x² − 43 + 84 = 0 ∴x = (−(−43) ± √(−43)² − 4 × 6 × 84)/(2 × 6) = (43 ± √1849 − 2016)/12 = (43 ± √−167)/12 যেহেতু x এর মান অবাস্তব। সুতরাং ত্রিভুজটি অস্তিত্বহীন।

উত্তর: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 7 বর্গ একক বা, (1/2)hx = 7 ;hx = 14 (Ans.) এখন ত্রিভুজটির অতিভুজ= √h² + x² একক ত্রিভুজটির পরিসীমা= 12 একক। : h + x + √h² + x² = 12(Ans.)

উত্তর: ঘনমূলগুলো হলো 1,(1/2)(−1 + √3),(1/2)(−1 − i√3) ∴ ঘনমূল তিনটির মধ্যে একটি বাস্তব এবং দুইটি জটিল।