১২. সমতলীয় ভেক্টর

ব্যাখ্যা: (i) দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে এদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্তরিকের বিধি প্রযোজ্য নয়। সুতরাং এটি সঠিক নয়। (ii) দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে এদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্তরিক বিধি প্রযোজ্য না হলেও ত্রিভুজ বিধি প্রযোজ্য। সুতরাং এটি সঠিক। (iii) দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে এদের দৈর্ঘ্য সমান হতেও পারে আবার নাও হতে পারে। সুতরাং এটি সঠিক নয়।

ব্যাখ্যা: AB ও CD দুইটি ভেক্টর এবং AB = CD ও AB || CD হলে অবশ্যই AB = CD . যেমন : একটি সামান্তরিকের বিপরীত বাহু AD ও BC দুইটি ভেক্টরের জন্য AD = BC . কারণ সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান ও এরা পরস্পর সমান্তরাল।

ক) ΔPDE–এ + = [ত্রিভুজবিধি] = 1/2 [যেহেতু, E, PR এর মধ্যবিন্দু] ∴ + = 1/2 (Ans.)

খ) মনে করি, PQR ত্রিভুজের PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করা হলো। দেখাতে হবে যে, DE || QR এবং DE = 1/2 QR প্রমাণ : D ও E যথাক্রমে PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু। ∴ PD = 1/2 PQ এবং PE = 1/2 PR ΔPQR–এ ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, PQ + QR = PR ∴ QR = PR – PQ ............. (i) এবং ΔPDE এ ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, PD + DE = PE ∴ DE = PE – PD = 1/2 PR – 1/2 PQ [∵ PE = 1/2 PR এবং PD = 1/2 PQ] = 1/2 (PR – PQ) = 1/2 QR [(i) হতে] ∴ |DE| = 1/2 |QR| ∴ DE = 1/2 QR এবং DE ও QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল। কিন্তু DE এবং QR ভিন্ন ভিন্ন রেখা হওয়ায় DE || QR হবে। ∴ DE || QR এবং DE = 1/2 QR (প্রমাণিত)

গ) মনে করি, DERQ ট্রাপিজিয়ামের DE || QR এবং QE ও DR কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F ও G। F ও G যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, FG || DE || QR এবং FG = 1/2 (QR – DE). প্রমাণ : মনে করি, কোনো ভেক্টর মধ্যবিন্দুর সাপেক্ষে D, E, Q ও R এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে d, e, q ও r = e – d = r – q ∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = 1/2 (e + q) [ F, QE এর মধ্যবিন্দু] এবং G বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = 1/2 (r + d) [ G, DR এর মধ্যবিন্দু] ∴ = 1/2 (r + d) – 1/2 (e + q) = 1/2 (r + d – e – q) = 1/2 {(r − q) – (e − d)} ∴ = 1/2 ( – ) DE || QR হওয়ায় ( – ) ভেক্টরটি ও ভেক্টরের সমান্তরাল হবে। তাহলে ভেক্টরটি ও ভেক্টরদ্বয়ের সমান্তরাল হবে। আবার, = 1/2 ( – ) ∴ |FG| = 1/2 |( – )| = 1/2 |(|QR| – |DE| —→ ) ∴ FG = 1/2 (QR – DE) অর্থাৎ FG || DE || QR এবং FG = 1/2 (QR – DE) (প্রমাণিত)

উত্তর: দেওয়া আছে, ABCD সামান্তরিকের দুটি কর্ণ AC ও BD। AB ও AC ভেক্টর দুটিকে AD ও BD ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে এবং দেখাতে হবে যে, ACBD 2BC এবং ACBD 2AB প্রমাণ : ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুযায়ী, ABBDAD বা, ABADBD..............(i) আবার, ACADDC = ADAB [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু বলে DCAB ] = ADADBD = 2ADBD ∴ AC 2ADBD..............(ii) বা, ACBD 2AD ∴ ACBD 2BC দেখানো হলো) [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু বলে, ADBC ] আবার, ACBD 2ADBDBD [(ii) নং এর উভয় পাশে (−BD যোগ করে] = 2AD 2BD = 2(ADBD = 2AB..............[(i) নং হতে পাই] ∴ ACBD 2AB দেখানো হলো)

উত্তর: (ক) এখানে, − (a̲ + b̲) = ( − 1) (a̲ + b̲) = ( − 1) (a) + ( − 1) (b̲) = − a̲ − b̲ [স্কেলার ও ভেক্টর গুণন অনুসারে] ∴ −(a̲ + b̲) = −a̲ − b̲ (দেখানো হলো) (খ) দেওয়া আছে, a̲ + b̲ = c̲ বা, a̲ + b̲ + ( − b̲) = c̲ + ( − b̲) [উভয়পক্ষে ( − b) যোগ করে] বা, a̲ + (1 − 1) b̲ = c̲ − b বা, a̲ + 0 = c̲ − b̲ ∴ a̲ = c̲ − b (দেখানো হলো)