১১. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

ক) দেওয়া আছে, A(− 2, y) বিন্দু হতে D(− 1, 2) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব AD = √10 ∴ √(− 2 + 1)² + (y − 2)² = √10 বা, √(− 1)² + (y − 2)² = √10 বা, √1 + y² − 4y + 4 = √10 বা, y² − 4y + 5 = 10 বা, y² − 5y + y − 5 = 0 বা, (y − 5) (y + 1) = 0 ∴ y − 5 = 0 অথবা, y + 1 = 0 ∴ y = 5 অথবা, y = − 1 যেহেতু A বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত সুতরাং এর ভুজ ও কোটি উভয়ই ঋণাত্মক। অর্থাৎ y ≠ 5 ∴ y = − 1 ∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (− 2, − 1)

খ) ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো A(− 2, − 1), B(5, 4) ও C(6, 7) এখন, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = √{5 − (− 2)}² + {4 − (− 1)}² একক = √(5 + 2)² + (4 + 1)² একক = √7² + 5² একক = √49 + 25 একক = √74 একক ∴ AB² = 74 BC বাহুর দৈর্ঘ্য = √(6 − 5)² + (7 − 4)² একক = √1² + 3² একক = √1 + 9 একক = √10 একক ∴ BC² = 10 AC বাহুর দৈর্ঘ্য = √{6 − (− 2)}² +{7 − (− 1)}² একক = √(6 + 2)² + (7 + 1)² একক = √8² + 8² একক = √64 + 64 একক = √128 একক এখানে, ABC ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহু AC কিন্তু AC² = 128 ≠ 74 + 10 = AB² + BC² অর্থাৎ, AC² ≠ AB² + BC² ∴ ত্রিভুজটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে না। অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী নয়।

গ) ABCD চতুর্ভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলো A(− 2, − 1), B(5, 4), C(6, 7) ও D(− 1, 2)। এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = √74 একক BC বাহুর দৈর্ঘ্য = √10 একক CD বাহুর দৈর্ঘ্য = √(− 1 − 6)² + (2 − 7)² একক = √7² + 5² একক = √49 + 25 একক = √74 একক ও AD বাহুর দৈর্ঘ্য = √10 একক (দেওয়া আছে) ∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = CD বাহুর দৈর্ঘ্য = √74 একক [বিপরীত বাহু] এবং BC বাহুর দৈর্ঘ্য = AD বাহুর দৈর্ঘ্য = √10 একক [বিপরীত বাহু] ∴ বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। সুতরাং বলা যায়, ABCD একটি সামান্তরিক বা আয়তক্ষেত্র। এখন কোনো সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে তা একটি আয়তক্ষেত্র হবে এবং প্রত্যেকটি কোণই এক সমকোণ হবে। কিন্তু 'খ' হতে পাই, ABC ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ নয়। সুতরাং এর কোণ ∠ABC সমকোণ নয়। অর্থাৎ, ABCD সামান্তরিকের ∠B সমকোণ নয়। সুতরাং ABCD আয়তক্ষেত্র নয়, একটি সামান্তরিক। (দেখানো হলো)

উত্তর: মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(2, 3) এবং Q(4, 6) ∴ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = √(4 − 2)² + (6 −3)² একক = √2² + 3² একক = √4 + 9 একক = √13 একক নির্ণেয় দূরত্ব = √13 একক। ii. ( − 3, 7) ও ( − 7, 3) মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P( − 3, 7) এবং Q( − 7, 3) ∴ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = √{−7 − (−3)}² + (3 − 7)² একক = √(−7 + 3)² + (3 − 7)² একক = √(−4)² + (−4)² একক = √16 + 16 একক = √32 একক = 4√2 একক নির্ণেয় দূরত্ব = 4√2 একক। iii. (a, b) ও (b, a) মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(a, b) এবং Q(b, a) ∴ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = √\(b − a)² + (a − b)²) একক = √b² − 2ba + a² + a² − 2ab + b² একক = √2a² − 4ab + 2b² একক = √2(a − b)² একক = (a − b) √2 একক নির্ণেয় দূরত্ব = (a − b) √2 একক। iv. (0, 0) ও (sinθ, cosθ) মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(0, 0) এবং Q(sinθ, cosθ) ∴ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = √\(sinθ − 0)² + (cosθ − 0)²) একক = √sin²θ + cos²θ একক = √1 = 1 একক নির্ণেয় দূরত্ব = 1 একক। v. (− 3/2, −1) ও (1/2 , 2) মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(− 3/2, −1) এবং Q(1/2, 2) ∴ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = √{1/2 − (− 3/2)}² + {2 − (−1)}² একক = √(1/2 + 3/2)² +(2 + 1)² একক = √(4/2)² + (3)² একক = √2² + 9 একক = √4 + 9 একক = √13 একক নির্ণেয় দূরত্ব = √13 একক।

উত্তর: প্রদত্ত বিন্দুসমূহ A(2, − 4), B( − 4, 4) ও C(3, 3)। XY সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো A, B; B, C এবং C, A যোগ করে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো : এখন, ABC ত্রিভুজের AB বাহুর দৈর্ঘ্য = √(− 4 −2)² + {4 − − − 4}²) একক = √(− 6)² + (8)² একক = √36 + 64 একক = √100 একক = 10 একক। BC বাহুর দৈর্ঘ্য = √(3 + 4)² + (3 − 4)² একক = √(7)² + (−1)² একক = √49 + 1 একক = √50 একক = 5√2 একক। এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য = √(3 − 2)² + (3 + 4)² একক = √1² + 7² একক = √49 + 1 একক = √50 একক = 5√2 একক। যেহেতু ABC ত্রিভুজে, BC বাহুর দৈর্ঘ্য = AC বাহুর দৈর্ঘ্য। সুতরাং ABC ত্রিভুজ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)