১০. যোগজীকরণ (Integrations)

ক) দেওয়া আছে, ∫₀¹ y dx = ∫₀¹ tan⁻¹x dx ধরি, I = ∫ tan⁻¹x dx = tan⁻¹x ∫dx − ∫{(d/dx)(tan⁻¹x) ∫dx}dx = x tan⁻¹x − ∫ x/(1 + x²) dx = x tan⁻¹x − (1/2)∫ 2x dx/(1 + x²) = x tan⁻¹x − (1/2)ln|1 + x²| + c ∴ ∫₀¹ tan⁻¹x dx = [x tan⁻¹x − (1/2)ln|1 + x²|]₀¹ = 1·tan⁻¹(1) − (1/2)ln|1 + 1| − 0 + (1/2)ln(1) = π/4 − (1/2)ln2 (Ans.)

খ) ∫ y dx = ∫ tan⁻¹x dx = tan⁻¹x ∫dx − ∫{(d/dx)(tan⁻¹x) ∫dx}dx = x tan⁻¹x − ∫ x/(1 + x²) dx = x tan⁻¹x − (1/2)∫ 2x dx/(1 + x²) = x tan⁻¹x − (1/2)ln|1 + x²| + c (Ans.)

গ) দেওয়া আছে, x² + y² = 25 বা, y = √25 − x² [প্রথম চতুর্ভাগে] বৃত্তটি উভয় অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম। ∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 4∫₀⁵ y dx = 4∫₀⁵ √25 − x² dx ধরি, x = 5sinθ ⇒ dx = 5cosθ dθ যখন x = 0 তখন θ = 0 এবং যখন x = 5 তখন θ = π/2 = 4∫₀^(π/2) √25 − 25sin²θ · 5cosθ dθ = 4∫₀^(π/2) 5√1 − sin²θ · 5cosθ dθ = 100∫₀^(π/2) cosθ · cosθ dθ = 50∫₀^(π/2) 2cos²θ dθ = 50∫₀^(π/2) (1 + cos2θ) dθ = 50[θ + (sin2θ)/2]₀^(π/2) = 50(π/2 + 0 − 0 − 0) = 25π ∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল 25π বর্গ একক। (Ans.)

উত্তর: দেওয়া আছে, ∫₀¹ y dx = ∫₀¹ tan⁻¹x dx ধরি, I = ∫ tan⁻¹x dx = tan⁻¹x ∫dx − ∫{(d/dx)(tan⁻¹x) ∫dx}dx = x tan⁻¹x − ∫ x/(1 + x²) dx = x tan⁻¹x − (1/2)∫ 2x dx/(1 + x²) = x tan⁻¹x − (1/2)ln|1 + x²| + c ∴ ∫₀¹ tan⁻¹x dx = [x tan⁻¹x − (1/2)ln|1 + x²|]₀¹ = 1·tan⁻¹(1) − (1/2)ln|1 + 1| − 0 + (1/2)ln(1) = π/4 − (1/2)ln2 (Ans.)

উত্তর: ∫ xe²ˣdx = x∫ e²ˣdx−∫ {(d/dx)(x)∫ e²ˣdx}dx