৯. অন্তরীকরণ (Differentiation)

ক) x² − 2xy + y² = 5 বা, 2x − 2xdy/dx − 2y + 2ydy/dx = 0[ x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, 2(y − x)dy/dx = 2(y − x)∴dy/dx = 1(Ans.)

খ) দেওয়া আছে, g(x) = cos⁻¹(1 − x²)/(1 + x²) = 2tan⁻¹x ∴y = e^(g(x)) = e^(2tan^(−1ₓ))......(i) বা, y₁ = e^(2tan^(−1ₓ))2/(1 + x²) [xএর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, (1 + x²)y₁ = 2y [(i) নং দ্বারা] বা, (1 + x²)y₂ + 2xy₁ = 2y [x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] ∴(1 + x²)y₂ + 2(x − 1)y₁ = 0 (প্রমানিত)

গ) (2In{f(x)})/({f(x)}²) = (2In√x)/((√x)²) = (In(√x)²)/x = Inc/x ধরি y = Inx/x বা, সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, dy/dx = 0 ∴(1 − Inx)/x² = 0 বা, In x = 1 ∴x = e আবার, = (−x − 2x + 2xInx)/x⁴ = (−3 + 2Inx)/x³ এখন, x = e বিন্দুতে d²y/dx² = (−3 + 2Ine)/e³ = (−3 + 2)/e³ = 1/e³∠0 ∴x = e বিন্দুতে সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴ সর্বোচ্চ মান = Ine/e = 1/e ( দেখানো হলো )

উত্তর: x² − 2xy + y² = 5 বা, 2x − 2xdy/dx − 2y + 2ydy/dx = 0[ x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, 2(y − x)dy/dx = 2(y − x)∴dy/dx = 1(Ans.)

উত্তর: = 1² × 1/4 = (1/4)(Ans.)