এইচএসসি উচ্চতর গণিত ২য় পত্র ২য় অধ্যায়: যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear programming)

ব্যাখ্যা: এখানে, A(6,0) বিন্দুতে B(6,4) বিন্দুতে C(0,4) বিন্দুতে Z = 7 × 0 + 4 × 4 = 16 ∴

ব্যাখ্যা: A(1,0) বিন্দুতে বিন্দুতে বিন্দুতে

ব্যাখ্যা:

ক) অভীষ্ট ফাংশনের মান একাধিক বিন্দুতে একই হলে যে কোন বিন্দুই গ্রহণযোগ্য তবে এক্ষেত্রে যে বিন্দুটি গ্রহণ করলে প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার আলোকে খুব সহজে সর্বোচ্চ মুনাফা ব্যয় অথবা কাঙ্খিত লক্ষ্য অর্জন করা যায় সেই বিন্দুতেই অভীষ্ট ফাংশনের মান নির্ণয় করতে হবে।

খ) প্রদত্ত অসমতার সমীকরণগুলোকে সমতার সমীকরণ বিবেচনা করি। 5x₁ + 6x₂ = 60 ⇒ x₁/12 + x₂/10 = 1...................(1) 8x₁ + 4x₂ = 72 ⇒ x₁/9 + x₂/18 = 1.....................(2) 3x₁ + 5x₂ = 45 ⇒ x₁/15 + x₂/9 = 1....................(3) x₁ = 0...........................(4) x₂ = 0............................(5) এখন (1)নং সরল রেখা x- অক্ষকে(12,0) এবং y- অক্ষকে (0,10)বিন্দুতে ছেদ করে। এই বিন্দু দুইটি যোগ করে (1) নং সরল রেখা অংকন করি। (2) নং সরল রেখা x- অক্ষকে (9, 0) বিন্দুতে এবং y- অক্ষকে (0, 18) বিন্দুতে ছেদ করে। ঐ বিন্দু দুইটি যোগ করে (2) নং সরল রেখা আঁকি এবং (3) নং সরল রেখা x- অক্ষকে (15, 0) বিন্দুতে এবং y- অক্ষকে (0, 9) বিন্দুতে ছেদ করে। এই বিন্দু দুইটি যোগ করে (3) নং সরল রেখা আঁকি। এখন ছক কাগজে গাঢ় চিহ্নিত অঞ্চলটি প্রদত্ত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সম্ভাব্য সমাধান অঞ্চল। এই সম্ভাব্য সমাধান অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলো হলো- (9,0),(48/7,30/7),(30/7,45/7), (0, 9), (0, 0) (30/7,45/7)বিন্দুতে Z এর মান প্রদত্ত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের একটি সমাধান (x₁, x₂) = (30/7,45/7) এবং ঐ বিন্দুতে অভীষ্ঠ ফাংশন Z এর মান 120. (দেখানো হলো)

গ) সমস্যাটির আরও বিকল্প চারটি সমাধান হলো (0,0),(9,0), (0, 9) এবং (48/7,30/7) (0,0) বিন্দুতে; z = 10.0 + 12.0 = 0 + 0 = 0 বিন্দুতে বিন্দুতে বিন্দুতে

উত্তর: অভীষ্ট ফাংশনের মান একাধিক বিন্দুতে একই হলে যে কোন বিন্দুই গ্রহণযোগ্য তবে এক্ষেত্রে যে বিন্দুটি গ্রহণ করলে প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার আলোকে খুব সহজে সর্বোচ্চ মুনাফা ব্যয় অথবা কাঙ্খিত লক্ষ্য অর্জন করা যায় সেই বিন্দুতেই অভীষ্ট ফাংশনের মান নির্ণয় করতে হবে।

উত্তর: মনে করি X প্রকারের খাদ্য x একক এবং Y প্রকারের খাদ্য y একক হলে খরচ সর্বনিম্ন হবে ∴ অভিষ্ট ফাংশন Z = Min (x + 3y) সীমাবদ্ধতা সমূহ: 30x + 12y ≥ 60 15x + 15y ≥ 60 6x +18y ≥ 36 x ≥ 0, y ≥ 0