এইচএসসি উচ্চতর গণিত ২য় পত্র ৩য় অধ্যায়: জটিল সংখ্যা (Complex Numbers)

ব্যাখ্যা: √i + √−i = (1/(√2))(1 + i) + (1/(√2))(1 − i) = (1/(√2))(2) = √2

ব্যাখ্যা: i = (1/2)(2i) = (1/2)(1 + 2i + i²) = (1/2)(1 + i)² ∴ √i = ± (1/(√2))(1 + i)

ব্যাখ্যা: (1 + ω⁴ − ω²)³ − (1 − ω⁴ + ω²)³ = (1 + ω − ω²)³ − (1 − ω + ω²)³ = (−ω² − ω²)³ − (−ω − ω)³ = (−2ω²)³ − (−2ω)³ = −8ω⁶ + 8ω³ = 0

ব্যাখ্যা: p = (1 + i)/(√2) বা, p² = (1 − 1 + 2i)/2 বা, p² = i বা, (p²)³ = i³ ∴p⁶ = −i

ব্যাখ্যা: zz̅ = 25 বা, (x + iy)(x − iy) = 25 ∴x² + y² = 25 যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।

ক) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 7 বর্গ একক বা, (1/2)hx = 7 ;hx = 14 (Ans.) এখন ত্রিভুজটির অতিভুজ= √h² + x² একক ত্রিভুজটির পরিসীমা= 12 একক। : h + x + √h² + x² = 12(Ans.)

খ) 'ক' হতে, h + x− = 12 = √h² + x² বা, h + x − 12 = √h² + x² বা, (x + h − 12)² = (−√h² + x²)² বা, x² + h² + 144 + 2xh(−12) + 2(−12)x = h² + x² বা, x² + 2xh + h² − 24x − 24h + 144 = h² + x² বা, 2xh − 24x − 24 + 144 = 0 বা, 2x.14/x − 24x − 24 × 14/x + 144 = 0 বা, 28 − 24x − 336/x + 14 = 0 বা, 28x − 24x² − 336 + 144 = 0 বা, 28x − 24x² − 336 + 144x = 0 বা, 24x² − 172x + 336 = 0 ; 6x² − 43x + 84 = 0(Ans.)

গ) Diophantus এর প্রাপ্ত সমীকরণ, 6x² − 43 + 84 = 0 ∴x = (−(−43) ± √(−43)² − 4 × 6 × 84)/(2 × 6) = (43 ± √1849 − 2016)/12 = (43 ± √−167)/12 যেহেতু x এর মান অবাস্তব। সুতরাং ত্রিভুজটি অস্তিত্বহীন।

উত্তর: ধরি, ∜−16 = t ∴ t⁴ = −16 = 16i² বা, t² = ±4i এখন, 4i = 2 + 4i − 2 = (√2)² + 2.√2.√2 i + (√2 i)² = (√2 + √2 i)² ∴ √4i = ±√2(1 + i) এবং −4i = (√2)² − 2.√2.√2 i + (√2 i)² = (√2 − √2 i)² ∴ √−4i = ±√2(1 − i) ∴ ∜−16 = ±√2(1 + i), ±√2(1 − i) (Ans.)

উত্তর: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 7 বর্গ একক বা, (1/2)hx = 7 ;hx = 14 (Ans.) এখন ত্রিভুজটির অতিভুজ= √h² + x² একক ত্রিভুজটির পরিসীমা= 12 একক। : h + x + √h² + x² = 12(Ans.)