এইচএসসি উচ্চতর গণিত ২য় পত্র ৫ম অধ্যায়: দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 5 · MCQ, CQ ও বোর্ড প্রশ্ন উত্তরসহ

MCQ: ৯৫টি সৃজনশীল: ৭০টি সংক্ষিপ্ত: ৫৭টি

এই অধ্যায়ের কয়েকটি প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি (MCQ) ★★★ গুরুত্বপূর্ণ ৪ বার এসেছে

১. (2x + 1/6x)¹⁰ এর বিস্তৃতিতে x বর্জিত পদ কোনটি?

ক) 12/13 খ) 28/27 গ) 36/5 ঘ) 48/7

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: খ) 28/27

ব্যাখ্যা: (r + 1) তম পদ = ¹⁰Cᵣ(2x)¹⁰⁻ʳ(1/6x)ʳ = ¹⁰Cᵣ·2¹⁰⁻ʳ·(1/6)ʳ·x¹⁰⁻²ʳ x বর্জিত পদে, 10 − 2r = 0 ∴ r = 5 x বর্জিত পদটির মান = ¹⁰C₅·2⁵·(1/6)⁵ = 252/243 = 28/27

বহুনির্বাচনি (MCQ) ★ গুরুত্বপূর্ণ ২ বার এসেছে

২. (x/z + z/x)¹⁰ এর বিস্তৃতিতে কততম পদ মধ্যপদ?

ক) 4 খ) 5 গ) 6 ঘ) 0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: গ) 6

ব্যাখ্যা: (x/z + z/x)¹⁰ বিস্তৃতিতে একটি মধ্যপদ (10/2 + 1) বা 6 তম পদ।

বহুনির্বাচনি (MCQ) ★ গুরুত্বপূর্ণ ২ বার এসেছে

৩. (x² + 2xy + y²)³⁹ এর বিস্তৃতিতে কোন পদটি মধ্যপদ?

ক) 20 তম পদ খ) 20 তম ও 21 তম গ) 40 তম ঘ) 40 তম ও 41 তম

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: গ) 40 তম

ব্যাখ্যা: {(x + y)²}³⁹ = (x + y)⁷⁸ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ (78/2 + 1) তম পদ = 40 তম পদ।

বহুনির্বাচনি (MCQ) ★ গুরুত্বপূর্ণ ২ বার এসেছে

৪. a এর কোন মানের জন্য (1 + ax)⁸ এর বিস্তৃতিতে x³ ও x⁴ এর সহগ পরস্পর সমান হবে?

ক) 5/4 খ) 4/5 গ) 16/5 ঘ) 5/16

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: খ) 4/5

ব্যাখ্যা: (1 + ax)⁸ এর বিস্তৃতিতে x³ এর সহগ = এবং x⁴ এর সহগ = প্রশ্নমতে, বা,

বহুনির্বাচনি (MCQ) ★ গুরুত্বপূর্ণ ২ বার এসেছে

৫. যদি y − 1 = 2x + 3x² + 4x³+.......∞ হলে, x = −1/2 এর জন্য y এর মান কত?

ক) 9/4 খ) 4/9 গ) 2/3 ঘ) 3/2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: খ) 4/9

ব্যাখ্যা: y − 1 = 2x + 3x² + 4x³+....... বা, y = 1 + 2x + 3x² + 4x³+....... বা, y = (1 − x)⁻² বা, y = (1 + 1/2)⁻² ∴y = 4/9

সৃজনশীল (CQ)

৬. x/((1 − ax)(1 − bx)) একটি দ্বিপদী।

1. ক) প্রদত্ত দ্বিপদীটির বিস্তারে xⁿ এর সহগ নির্ণয় কর।২
2. খ) প্রদত্ত দ্বিপদীটিতে a = 4,b = 5 লিখে বিস্তার কর।৪
3. গ) 3/((1 − ax)(1 − bx)) কে বিস্তার কর যখন a =4, b= 5.৪

উত্তর দেখুন

ক) নিম্নে x/((1 − ax)(1 − bx)) কে কভার আপ রুল পদ্ধতির সাহায্যে আংশিক ভগ্নাংশে পরিণত করা হলো। ধরি, x/((1 − ax)(1 − bx)) = A/(1 − ax) + B/(1 − bx)...........(i) সুতরাং (i) নং থেকে পাই, ∴xⁿ এর সহগ = 1/(a − b).aⁿ − 1/(a − b).bⁿ = (aⁿ − bⁿ)/(a − b)(Ans)

খ) a =4, b =5 হলে x/((1 − ax)(1 − bx)) = x/((1 − 4x)(1 − 5x)) ধরি, x/((1 − 4x)(1 − 5x)) = A/(1 − 4x) + B/(1 − 5x)...........(ii) (ii) নং থেকে পাই, x/((1 − 4x)(1 − 5x)) = −1/(1 − 4x) + 1/(1 − 5x)

গ) a = 4, b = 5 হলে 3/((1 − ax)(1 − bx)) = 3/((1 − 4x)(1 − 5x)).........................(iii) ধরি 3/((1 − 4x)(1 − 5x)) = A/(1 − 4x) + B/(1 − 5x) এবং (iii) নং থেকে পাই, 3/((1 − 4x)(1 − 5x)) = −12/(1 − 4x) + 15/(1 − 5x)

সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

৭. x/((1 − ax)(1 − bx)) একটি দ্বিপদী। প্রদত্ত দ্বিপদীটির বিস্তারে xⁿ এর সহগ নির্ণয় কর।

উত্তর দেখুন

উত্তর: নিম্নে x/((1 − ax)(1 − bx)) কে কভার আপ রুল পদ্ধতির সাহায্যে আংশিক ভগ্নাংশে পরিণত করা হলো। ধরি, x/((1 − ax)(1 − bx)) = A/(1 − ax) + B/(1 − bx)...........(i) সুতরাং (i) নং থেকে পাই, ∴xⁿ এর সহগ = 1/(a − b).aⁿ − 1/(a − b).bⁿ = (aⁿ − bⁿ)/(a − b)(Ans)

সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

৮. (3x² − 1/2x)¹⁰ এর বিস্তৃতি থেকে মধ্যপদ (মধ্যপদদ্বয়) নির্ণয় কর।

উত্তর দেখুন

উত্তর: (3x² − 1/2x)¹⁰ এর শক্তিসূচক জোড় বলে একটি মধ্যপদ থাকবে। ∴ মধ্যপদটি (10/2 + 1) বা, (5 + 1) তম পদ ∴(5 + 1) তম পদ = −(15309/8)x⁵(Ans.)