এইচএসসি উচ্চতর গণিত ২য় পত্র ৬ষ্ঠ অধ্যায়: কনিক (Conics)

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত পরাবৃত্ত, y² = 4x + 8y বা, y² − 8y + 16 = 4x + 16 বা, (y − 4)² = 4(x + 4) বা, Y² = 4.aX যেখানে X = x + 4,Y = y − 4 এবং a = 1 শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক: X = 0 এবং Y = 0 বা, x + 4 = 0 বা, y − 4 = 0 বা, x = −4 বা, y = 4 ∴পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু (−4,4)

ব্যাখ্যা: ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ, x²/a² + y²/b² = 1 যেখানে a > b উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্ব = 2b²/a এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a শর্তমতে, 2b²/a = 1/2.2a বা, 2b²/a = a বা, a² = 2b² বা, a = √2b উৎকেন্দ্রিকতা, e = √1 − b²/a² = √1 − b²/((√2b)²) = √b²/2b² = 1/(√2)

ব্যাখ্যা: x = 1 হলে, y² = 144 বা, y = 12 ∴(x,y) = (1,12) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র x + 11 = 3 বা, x = −8 এবং y = 0 উপকেন্দ্র (–8,0) উপকেন্দ্রিক দূরত্ব = √9² + 12² = 15

ব্যাখ্যা: y²/18 − ((x + 3)²)/9 = 1 e = √1 + 9/18 = √27/18 = √3/2 নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব

ব্যাখ্যা: y² = 4px পরাবৃত্তটি (3,−2) বিন্দুগামী অতএব, 4 = 12p বা, p = 1/3 ∴উপকেন্দ্র (1/3,0)

ক) প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ, x² = −12y বা, x² = 4(−3)y ... ... ... ... (i) (i) নং কে x² = 4ay এর সাথে তুলনা করে পাই, a = −3 ∴ নিয়ামকের সমীকরণ, y = −a বা, y = −(−3) বা, y = 3 ∴ y − 3 = 0 নির্ণেয় সমীকরণ, y − 3 = 0

খ) প্রদত্ত রেখা, x − y − 5 = 0 বা, y = x − 5 ... ... ... ... (i) এবং উপবৃত্ত, x²/16 + y²/9 = 1 বা, 9x² + 16y² = 144 ... ... ... ... (ii) (i) নং হতে y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, 9x² + 16(x − 5)² = 144 বা, 9x² + 16(x² − 10x + 25) = 144 বা, 9x² + 16x² − 160x + 400 − 144 = 0 বা, 25x² − 160x + 256 = 0 বা, (5x)² − 2.5x.16 + (16)² = 0 বা, (5x − 16)² = 0 ∴ x = 16/5, 16/5 অর্থাৎ রেখাটি উপবৃত্তকে একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে স্পর্শ করে। (i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই, y = 16/5 − 5 = (16 − 25)/5 = −9/5 ∴ স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক (16/5, −9/5).

গ) দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত সমীকরণ, 4x² − 5y² − 16x + 10y − 9 = 0 বা, 4x² − 16x + 16 − 5(y² − 2y + 1) − 20 = 0 বা, 4(x − 2)² − 5(y − 1)² = 20 বা, ((x − 2)²)/5 − ((y − 1)²)/4 = 1 একে X²/a² − Y²/b² = 1 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, X = x − 2, Y = y − 1, a² = 5 এবং b² = 4 উৎকেন্দ্রিকতা, e = √1 + b²/a² = √1 + 4/5 = √(5 + 4)/5 = √9/5 = 3/(√5) ∴ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 2b²/a = 2.4/(√5) = 8/(√5) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, X = ± ae বা, x − 2 = ± √5.3/(√5) বা, x − 2 = ± 3 বা, x = ± 3 + 2 ∴x = 5 এবং x + 1 = 0 নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 8/(√5) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ x = 5 এবং x + 1 = 0

উত্তর: প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ, x² = −12y বা, x² = 4(−3)y ... ... ... ... (i) (i) নং কে x² = 4ay এর সাথে তুলনা করে পাই, a = −3 ∴ নিয়ামকের সমীকরণ, y = −a বা, y = −(−3) বা, y = 3 ∴ y − 3 = 0 নির্ণেয় সমীকরণ, y − 3 = 0

উত্তর: প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ, x²/9 − y²/16 = 1 একে x²/a² − y²/b² = 1 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a² = 9, b² = 16 ∴ উৎকেন্দ্রিকতা, e = √1 + b²/a² = √1 + 16/9 = √(9 + 16)/9 = √25/9 = 5/3