৬. কনিক (Conics)

ক) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখা দুইটি। দেওয়া আছে, অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ 4y + 8 = ± (3x − 3) ∴ প্রদত্ত অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, 4y + 8 = (3x − 3) বা 3x + 4y − 11 = 0(Ans.) এবং 4y + 8 = −(3x − 3) বা, 3x + 4y + 5 = 0(Ans.)

খ) অধিবৃত্তটির অসীমতটের সমীকরণ, 4y + 8 = ± (3x − 3) বা, 4(y + 2) = ± 3(x − 1) বা, (y + 2) = ± (3/4)(x − 1) ∴b/a = 3/4 ∴ উৎকেন্দ্রিকতা, e = √1 + b²/a² = = √1 + 9/16 = 5/4 আবার, উপকেন্দ্র (−9,−2) এবং (11,−2) অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ≡ ((−9 + 11)/2,(−2 − 2)/2) বা, (1,−2) ∴ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = √(−9 − 11)² + (−2 + 2)² = 20 ∴2ae = 20 বা, 2a.5/4 = 20 বা, a = 8∴b = 6 ∴ অধিবৃত্তটির কার্তেসীয় সমীকরণ, ((x − 1)²)/8² − ((y + 2)²)/6² = 1...........(i)(Ans.) (i) নং সমীকরণে 8secθ + 1 বা, x − 14 = 8secθ বসিয়ে পাই, 8²sec²θ/8² − ((y + 2)²)/6² বা, (y + 2)² = 6²(sec²θ − 1) বা, y + 2 = 6tanθ ∴y = 6tanθ − 2 ∴ পরামিতিক সমীকরণ, x = 8secθ + 1,y = 6tanθ − 2(Ans.)

গ) 'খ' হতে পাই, অধিবৃত্তটির সমীরকণ, ((x − 1)²)/8² − ((y + 2)²)/6² = 1 অধিবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ, X²/a² − Y²/b² = 1 এর সাথে তুলনা করে পাই, X = x − 1,Y = y + 2,a = 8 এবং b = 6 অধিবৃত্তের কেন্দ্র (X,Y) = (0,0) বা, (x − 1,y + 2) = (0,0) বা, (x,y) = (1,−2)(Ans.) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (X,Y) = ( ± a,0) = ( ± 8,0)(Ans.) বা, (x − 1,y + 2) = ( ± 8,0) বা, (x,y) = (1 ± 8,−2) = (−7,−2),(9,−2)(Ans.0) নিয়ামকের সমীকরণ, X = ± a/e বা, ∴x = 1 + 32/5 বা, 5x = 37(Ans.) এবং x = 1 − 32/5 বা, 5x = −27(Ans.)

উত্তর: অধিবৃত্তের অসীমতট রেখা দুইটি। দেওয়া আছে, অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ 4y + 8 = ± (3x − 3) ∴ প্রদত্ত অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, 4y + 8 = (3x − 3) বা 3x + 4y − 11 = 0(Ans.) এবং 4y + 8 = −(3x − 3) বা, 3x + 4y + 5 = 0(Ans.)

উত্তর: প্রদত্ত পরাবৃত্ত px² + qy² = 32 পরাবৃত্তটি (3,1) ও (2,-2) বিন্দুগামী বা, p(3²) + q(1)² = 32 9p + q(1)² = 32..............................(i) আবার, p(2²) + q(−2)² = 32 বা, 4p + 4q = 32...........................(ii) (i) ও (ii) নং সমীকরণ সমাধান করে পাই, p = 3;q = 5 সমীকরণটি হলো x²/(32/3) + y²/(32/5) = 1 উপকেন্দ্র বা ফোকাসের স্থানাঙ্ক = ( ± ae,0)