৯. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

ক) দেওয়া আছে, p = 1 + sin A q = 1 − sin A প্রদত্ত রাশি, pq = (1 + sin A) (1 − sin A) = (1² + sin² A) = cos² A (Ans.)

খ) বামপক্ষ = √p/q = √(1 + sin A)/(1 − sin A) = √((1 + sin A) (1 + sin A))/((1 − sin A) (1 + sin A)) = √((1 + sinA)²)/((1² − sin² A)) = √((1 + sin A)²)/cos²A = (1 + sin A)/(cos A) = 1/(cos A) + (sin A)/(cos A) = sec A + tan A = ডানপক্ষ অর্থাৎ √p/q = sec A + tan A (প্রমাণিত)

গ) বামপক্ষ = (sec A − tan A)² = (1/(cos A) − (sin A)/(cos A)) ² = ((1 − sin A)/(cos A)) ² = ((1 − sin A)²)/((1 − sin² A)) = ((1 − sin A)²)/((1 + sin A) (1 − sin A)) = ((1 − sin A))/((1 + sin A)) = q/p = ডানপক্ষ অর্থাৎ (sec A − tan A)² = q/p (প্রমাণিত)

উত্তর: উক্তিটি মিথ্যা। যুক্তি : যখন A = 45°, তখন tanA এর মান tan 45° = 1। আবার, যখন A = 60° তখন tanA এর মান tan 60° = √3 = 1·732 > 1 অর্থাৎ tanA এর মান 1 অথবা 1 অপেক্ষা বেশিও হতে পারে। (খ) cotA হলো cot ও A এর গুণফল। উক্তিটি মিথ্যা। যুক্তি : cotA দ্বারা একটি কোণের পরিমাপকে বুঝানো হয়। A বাদে cot এর আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না। (গ) A এর কোন মানের জন্য secA = 12/5 দেওয়া আছে, secA = 12/5 বা, 1/cosA = 12/5 বা, cosA = 5/12 = cos65·37° [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে] ∴ A = 65·37° = 65·37° নির্ণেয় A এর মান 65·37° (ঘ) cos হলো cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ। উক্তিটি মিথ্যা।

উত্তর: দেওয়া আছে, sinA = 3/4 অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু BC = 3 এবং অতিভুজ AC = 4 ∴ AB = √AC² − BC² = √4² − 3² = √16 − 9 = √7 ∴ cosA = AB/AC = √7/4 ∴ tanA = BC/AB = 3/√7 ∴ cotA = 1/tanA = √7/3 ∴ secA = 1/cosA = 4/√7 ∴ cosecA = 1/sinA = 4/3