১. সেট ও ফাংশন

ব্যাখ্যা: n ∈ N দ্বারা বুঝায় n যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার উপাদান n ∈ N এর জন্য An = {n, 2n, 3n ........} A₁ = {1, 2, 3, 4 ...........} A₂ = {2, 4, 6 .............} ∴ A₁ ∩ A₂ = {2, 4, 4 ..........} = A₂

ক) দেওয়া আছে, A = {x : x ∈ R এবং x² − (a + b) x + ab = 0} A -তে প্রদত্ত সমীকরণ x² − (a + b) x + ab = 0 বা, x² − ax − bx + ab = 0 বা, x(x − a) − b(x − a) = 0 বা, (x − a) (x − b) = 0 হয়, x − a = 0 অথবা x − b = 0 ∴ x = a ∴ x = b ∴ A সেটের উপাদানসমূহ a এবং b (Ans.)

খ) দেওয়া আছে, B = {2, 3} এবং C = {2, 4, 5} ∴ B ∩ C = {2, 3} ∩ {2, 4, 5} = {2} এখন, P(B ∩ C) = {{2}, φ} আবার, P(B) = {{2, 3}, {2}, {3}, φ} এবং P(C) = {{2, 4, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {4, 5}, {2}, {4}, {5}, φ} ∴ P(B) ∩ P(C) = {{2}, φ} ∴ P(B ∩ C) = P(B) ∩ P(C) (দেখানো হলো)

গ) এখানে, B ∪ C = {2, 3} ∪ {2, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} ∴ A × (B ∪ C) = {a, b} × {2, 3, 4, 5} = {(a, 2) (a, 3), (a, 4), (a, 5), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (b, 5)} আবার, A × B = {a, b} × {2, 3} = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b ,3)} এবং A × C = {a, b) × {2, 4, 5} = {(a, 2), (a, 4), (a, 5), (b, 2), (b, 4), (b, 5)} ∴ (A × B) ∪ (A × C) = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)} ∪ {(a, 2), (a, 4), (a, 5), (b, 2), (b, 4), (b, 5)} = {a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (b, 5)} ∴ A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (প্রমাণিত)

উত্তর: দেওয়া আছে, U = { x : 3 ≤ x ≤ 20, x ∈ Z} ∴ U = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} A = { x : x বিজোড় সংখ্যা } B = { x : x মৌলিক সংখ্যা } (i) A = { x : x বিজোড় সংখ্যা } ∴ A = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} (ii) B = { x : x মৌলিক সংখ্যা} ∴ B = { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} (iii) দেওয়া আছে, C = {x : x ∈ A এবং x ∈ B} A ∩ B = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}∩ { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} [নোট : C হলো 3 থেকে 20 পর্যন্ত সকল মৌলিক বিজোড় সংখ্যার সেট এবং C = B।] (iv) D = { x : x ∈ A অথবা x ∈B } A ∪ B = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} ∪ { 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

উত্তর: প্রদত্ত ভেনচিত্রে n(A) = 3x + x n(B) = x + 2x + 8 n(A ∪ B) = 3x + x + 2x + 8 n(A ∩ B′) = 3x (a) দেওয়া আছে, n(A) = n(B) বা, 3x + x = x + 2x + 8 বা, 4x = 3x + 8 ∴ x = 8 (Ans.) (b) আমরা জানি, n (A∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = 3x + x + x + 2x + 8 − x = 6x + 8 = 6 × 8 + 8 [ x = 8] = 56 (Ans.) এবং n (A ∩ B′) = n (A) − n (A ∩ B) [ভেনচিত্র থেকে] = 3x + x − x = 3x = 3 × 8 [ x = 8] = 24 (Ans.) [নোট : ভেনচিত্রে 3x, x, 2x + 8 দ্বারা A ও B সেটের উপাদান নয় বরং উপাদান সংখ্যা বুঝানো হয়েছে।]