২. বীজগণিতীয় রাশি

ব্যাখ্যা: (i) দেওয়া আছে, a + b + c = 0 ∴ a + b = − c বামপক্ষ = a³ + b³ + c³ = (a + b)³ −3ab (a + b) + c³ = (− c)³ −3ab (−c) + c³ = − c³ + 3ab + c³ = 3abc = ডানপক্ষ (ii) দেওয়া আছে, P (x, y, z) = x/y + y/z + z/x এখানে, x এর স্থলে y, y এর স্থলে z এবং z এর স্থলে x বসালে, রাশিটির কোনো পরিবর্তন হয় না। সুতরাং রাশিটি চক্রক্রমিক। (iii) 1/(x + x) + 2/(1 + x²) + 4/(x⁴ −1) = 1/(1 +x) + 2/(1 + x²) + 4/((x²) − (1)) = 1/(1 + x) + 2/(1 + x²) + 4/((x² +1) (x² −1)) = 1/(1 + x) + (2(x² −1) + 4)/((x² +1) (x² −1)) = 1/(1 + x) + (2x² −2 + 4)/((x² + 1) (x² − 1)) = 1/(1 + x) + 2/((x + 1) (x − 1)) = (x − 1 + 2)/((x +1) (x − 1)) = ((x +1))/((x + 1) (x −1)) = 1/(x − 1)

ক) দেওয়া আছে, P(x) = − x² + 15x + 10x³ + 9 এখন P(x) কে x চলকের আদর্শরূপে লিখলে হবে, P(x) = 10x³ − x² + 15x + 9 ∴ P(x) এর মুখ্য সহগ হলো 10. (Ans.)

খ) 'ক' হতে পাই, P(x) = 10x³ − x² + 15x + 9 P(x) এর ধ্রুবপদ 9 এর উৎপাদকসমূহের সেট f₁ = {1, − 1, 3 − 3, 9, − 9} P(x) এর মূখ্যসহগ 10 এর উৎপাদকসমূহের সেট f₂ = {1, −1, 2, − 2, 5, − 5, 10 − 10} এখন, P(a) বিবেচনা করি, যেখানে a = π/4 এবং π ∈ f₁, s ∈ f₂ a = 1 হলে P(1) = 10 − 1 + 15 + 9 ≠ 0 a = − 1 " P(−1) = − 10 − 1 − 15 + 9 ≠ 0 a = − 1/2 হলে P (− 1/2) = 10 (− 1/8) − 1/4 + 15 (− 1/2) + 9 = − 5/4 − 1/4 − 15/2 + 9 = (− 5 − 1 − 30 + 36)/4 = (− 36 + 36)/4 = 0/4 = 0 সুতরাং x + 1/2 = 1/2 (2x + 1) অর্থাৎ (2x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক। এখন, 10x³− x² + 15x + 9 = 10x³ + 5x² − 6x² − 3x + 18x + 9 = 5x²(2x + 1) − 3x(2x + 1) + 9(2x + 1) = (2x + 1) (5x² − 3x + 9) ∴ P(x) = (2x + 1)(5x² − 3x + 9)

গ) দেওয়া আছে, Q(x) = x³ + x² − 6x = x(x² + x − 6) = x(x² + 3x − 2x − 6) = x(x(x + 3) − 2(x + 3)} = x(x + 3) (x − 2) ∴ (x² + x − 1)/(Q(x)) = (x² + x − 1)/(x(x + 3)(x − 2)) ধরি, (x² + x − 1)/(x(x − 2)(x + 3)) = A/x + B/(x − 2) + c/(x + 3)...............(i) সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x(x − 2)(x + 3) দ্বারা গুণ করে পাই, x² + x − 1 ≡ A(x − 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + cx(x − 2) .....(ii) যা x এর সকল মানের জন্য সত্য। এখন সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই, 0² + 0 − 1 = A(0 − 2) (0 + 3) + B.0(0 + 3) + c.0(0 − 2) বা, − 1 = A(− 2). 3 + 0 + 0 বা, − 1 = − 6A বা, A = 1/6 আবার সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই, 2² + 2 − 1 = A(2 − 2)(2 + 3) + B.2(2 + 3) + c.2(2 − 2) বা, 4 + 2 − 1 = 0 + 10B + 0 বা, 5 = 0 + 10B ∴ B = 5/10 = 1/2 আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = − 3 বসিয়ে পাই, (−3)² + (−3) − 1 = A(− 3 − 2) (− 3 + 3) + B(− 3)(− 3 + 3) + c(− 3)(− 3 − 2). বা, 9 − 3 − 1 = 0 + 0 + 15c বা, 5 = 15c ∴ c = 5/15 = 1/3 এখন, A, B ও C এর মান সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই, (x² + x − 1)/(x(x − 2)(x + 3)) = (1/6)/x + (1/2)/(x − 2) + (1/3)/(x + 3) = 1/6x + 1/(2(x − 2)) + 1/(3(x + 3)). যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

উত্তর: মনে করি, P(x) = x⁴ − 5x³ + 7x² − a (x − 2), P(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি P(2) = 0 হয়। এখন, P(2) = 2⁴ − 5. 2³ + 7. 2² − a = 16 − 40 + 28 − a = 4 − a যেহেতু, P(2) = 0 সুতরাং, 4 − a = 0 ∴ a = 4 (দেখানো হলো)

উত্তর: P(x) = xⁿ − aⁿ P(x) কে (x − a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(a) ∴ P(a) = aⁿ − aⁿ = 0 P(x) কে (x − a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হয়। ∴ (x − a), P(x) এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো) (x − a), P(x) এর একটি উৎপাদক। ∴ P(x) = xⁿ − aⁿ = xⁿ − xⁿ ⁻¹ a + xⁿ ⁻¹a − xⁿ ⁻² a² + xm ⁻² a² − xⁿ ⁻³ a³ + ............... + x.aⁿ ⁻¹ − aⁿ = xⁿ ⁻¹(x − a) + xⁿ ⁻² a(x − a) + xⁿ ⁻³ a² (x − a) + ...........+ aⁿ ⁻¹(x − a) = (x − a)(xⁿ ⁻¹ + xⁿ ⁻² + xⁿ ⁻³ a² + ..........+ aⁿ ⁻¹) যেহেতু P(x) = (x − a) Q(x) ∴ Q(x) = xⁿ ⁻¹ + xⁿ ⁻² a + xⁿ ⁻³ a² +.........+ aⁿ ⁻¹ (Ans.) (খ) n জোড় সংখ্যা হলে দেখাও যে, (x + a) বহুপদীটির একটি উৎপাদক এবং এমন Q(x) নির্ণয় কর যেন P(x) = (x + a) Q(x) হয়। P(x) = xⁿ − aⁿ n জোড় সংখ্যা হলে n = 2k (এখানে K স্বাভাবিক সংখ্যা) ∴ P(x) = x²k − a²k P(x) কে (x + a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(−a) ∴ P(−a) = (−a)²k − a²k = a²k − a²k = 0 P(x) কে (x + a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হয়। ∴ (x + a), P(x) এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো) ∴ P(x) = xⁿ − aⁿ = xⁿ + xⁿ ⁻¹. a − xⁿ ⁻¹ . a + xⁿ ⁻² . a² − xⁿ ⁻² . a² + ................+ xaⁿ ⁻¹ − aⁿ = xⁿ ⁻¹ (x + a) − xⁿ ⁻² . a(x + a) + xⁿ ⁻³ . a²(x + a) − .......... − aⁿ ⁻¹(x + a) = (x + a) (xⁿ ⁻¹ − xⁿ ⁻² a + xⁿ ⁻³ a² − ........... − aⁿ ⁻¹) যেহেতু, P(x) = (x + a) Q (x) ∴ Q(x) = xⁿ ⁻¹ − xⁿ ⁻². a + xⁿ ⁻³. a² − ...........+ (−1)ⁿ ⁻¹. aⁿ ⁻¹ (Ans.)