১০. বৃত্ত

ক) বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি. বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = (3.14 × 5²) বর্গ সে.মি. = (3.14 × 25) বর্গ সে.মি. = 78.5 বর্গ সে.মি. (Ans.)

খ) মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা এবং M এই জ্যা-এর মধ্যবিন্দু। O, M যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, OM রেখাংশ AB জ্যা-এর উপর লম্ব। অঙ্কন: O, A এবং O, B যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা (১) ΔOAM এবং ΔOBM এ AM = BM OA = OB এবং OM = OM সুতরাং ΔOAM ≅ ΔOBM ∴ ∠OMA = ∠OMB (২) যেহেতু কোণদ্বয় রৈখিক যুগল কোণ এবং এদের পরিমাপ সমান, সুতরাং ∠OMA = ∠OMB = ১ সমকোণ অতএব, OM ⊥ AB. (প্রমাণিত) [M, AB এর মধ্যবিন্দু] [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [সাধারণ বাহু] [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]

গ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABE ও CDF দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্ত। ABE বৃত্তের AB জ্যা CDF বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং M, AB এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, AC = BD. অঙ্কন : O, M যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা (১) M, AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু ∴ AM = BM এবং OM ⊥ AB ['খ' থেকে] (২) C ও D বিন্দু AB এর উপর অবস্থিত, তাই OM ⊥ CD CD হলো CDF বৃত্তের একটি জ্যা ∴ CM = DM [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] (৩) এখন, AM − CM = BM − DM [(১) ও (২) থেকে] বা, AC = BD (প্রমাণিত)

উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি. বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = (3.14 × 5²) বর্গ সে.মি. = (3.14 × 25) বর্গ সে.মি. = 78.5 বর্গ সে.মি. (Ans.)

উত্তর: উদ্দীপক অনুসারে, PQNM বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি. আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr একক ∴ PQNM বৃত্তের পরিধি = ২π × ৫ সে.মি. = ৩১.৪ সে.মি. (প্রায়) (Ans.)