৯. সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন

ব্যাখ্যা: ³√³√(³√(7 2 9)) = ³√³√³√93 = ³√³√9 = ³√³√3² = 3(2/3⋅ 1/3) · = 3(2/9)

ক) শর্তমতে, pp√p = (p√p)p বা, pp( (1 + 1/2) ) = (p (1 + 1/2) )p বা, pp (3/2) = p (3/2 p) বা, p (3/2) = 3/2 p বা, (p (3/2))/p = 3/2 বা, p (3/2 − 1) = 3/2 বা, p (1/2) = 3/2 ∴ p = 9/4 (Ans.)

খ) যেহেতু aˣ = cz বা, a = c (z/x) আবার, by = cz বা, b = c (z/y) এখন, c² = ab = c (z/x). c (z/y) বা, c² = c (z/x + z/y). বা, 2 = z/x + z/y বা, z (1/x + 1/y) = 2 ∴ 1/x + 1/y = 2/z (প্রমাণিত)

গ) দেওয়া আছে, aˣ = by = cz ধরি aˣ = by = cz = k ∴ aˣ = k বা, a = k (1/x) aˣ = k বা, b = k (1/y) cz = k বা, c = k (1/z) এখন, abc = 1 বা, k (1/x), k (1/y), k (1/z) = k° বা, k (1/x + 1/y + 1/z) = k° বা, 1/x + 1/y + 1/z = 0 বা, ( 1/x + 1/y + 1/z)³ = 0 বা, 1/x³ + 1/y³ + 1/z³ − 3/xyz = 0 ∴ 1/x³ + 1/y³ + 1/z³ = 3/xyz (প্রমাণিত)

উত্তর: ধরি, ষড়মশঢ়/(y − z) = ষড়মশয়/(z − x) = ষড়মশৎ/(x − y) = c ∴ logkp = c(y − z) ..........(i) logkq = c(z − x) ........... (ii) logkr = c(x − y) ........... (iii) (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই, logkp + logkq + logkr = c(y − z + z − x + x − y) বা, logkpqr = c.0 = 0 = logk1 ∴ pqr = 1 (প্রমাণিত)

উত্তর: (a (m/n) )p = {(a (1/n) )m} P [ a (m/n) = (a (1/n) ) m] = (a (1/n) )mp [(am)ⁿ = am ⁿ] = a(mp/n) ∴ (a (m/n) )p = = a(mp/n) (প্রমাণিত)