১০. দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion)

ক) 128 (1/2 + x²)⁷ = 2⁷ (1/2 + x²)⁷ = {2(1/2 + x²)}⁷ = (1 + 2x²)⁷ (Ans.) এবং 128 (1/2 − x²)⁷ = 2⁷ (1/2 − x²)⁷ = {2(1/2 − x²)}⁷ = (1 − 2x²)⁷ (Ans.)

খ) 'ক' হতে পাই, দ্বিপদীদ্বয় (1 + 2x²)⁷ ও (1 − 2x²)⁷ প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে- 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 (1 + 2x²)⁷ = 1 + 7(2x²) + 21(2x²) + 35(2x²)³ + 35(2x²)⁴ + 21 (2x²)⁵ + 7(2x²)⁶ + (2x²)⁷ = 1 + 14x² + 21.4x⁴ + 35.8x⁶ + 35.16x⁸ + 21.32x¹⁰ + 7.64x¹² + 128x¹⁴ = 1 + 14x² + 84x⁴ + 280x⁶ + 560x⁸ + 672x¹⁰ + 448x¹² + 128x¹⁴ এবং (1 − 2x²)⁷ = {1 + (− 2x²)}⁷ = 1 + 7(− 2x²) + 21.(− 2x²)² + 35(− 2x²)³ + 35(− 2x²)⁴ + 21(− 2x²)⁵ + 7(− 2x²)⁶ + (− 2x²)⁷ = 1 − 7.2x² + 21.4x⁴ − 35.8x⁶ + 35.16x⁸ − 21.32x¹⁰ + 7.64x¹² − 128x¹⁴ = 1 − 14x² + 84x⁴ − 280x⁶ + 560x⁸ − 672x¹⁰ + 448x¹² − 128x¹⁴ (Ans.)

গ) 'খ' থেকে পাই, (1 + 2x²)⁷ = 1 + 14x² + 84x⁴ + 280x⁶ + 560x⁸ + 672x¹⁰ + 448x¹² + 128x¹⁴ এবং (1 − 2x²)⁷ = 1 − 14x² + 84x⁴ − 280x⁶ + 560x⁸ − 672x¹⁰ + 448x¹² − 128x¹⁴ ∴ (1 + 2x²)⁷ − (1 − 2x²)⁷ = 1+ 14x² + 84x⁴ + 280x⁶ + 560x⁸ + 672x¹⁰ + 448x¹² + 128x¹⁴ − 1 + 14x⁴ − 84x⁴ + 280x⁶ − 560x⁸ + 672x¹⁰ − 448x¹² + 128x¹⁴ = 28x² + 560x⁶ + 1344x¹⁰ + 256x¹⁴ ⁼ 4x² (7 + 140x⁴ + 336x⁸ + 64x¹²) এখানে x এর যেকোনো মানের জন্য 4x² এবং (7 + 140x⁴ + 336x⁸ + 64x¹²) অঋণাত্মক সংখ্যা ∴ (1 + 2x²)⁷ থেকে (1 − 2x²)⁷ এর বিয়োগফল সর্বদা ধনাত্মক। (দেখানো হলো)

উত্তর: প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে- 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ∴ (1 + y)⁵ = 1 + 5y + 10y² + 10y³ + 5. y⁴ + 1.y⁵ = 1 + 5y + 10y² + 10y³ + 5y⁴ + y⁵ (Ans.) i. (1 – y)⁵ = 1 + 5(–y) + 10(–y)² + 10(–y)³ + 5(– y)⁴ + 1(–y)⁵ = 1 – 5y + 10y² – 10y³ + 5y⁴ – y⁵ (Ans.) ii. (1 + 2x)⁵ = 1 + 5.2x + 10(2x)² + 10(2x)³ + 5(2x)⁴ + 1(2x)⁵ = 1 + 10x + 40x² + 80x³ + 80x⁴ + 32x⁵ (Ans.) অথবা, দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে- (1 + y)⁵ = (⁵₀) y⁰ + (⁵₁) y¹ + (⁵₂) y² + (⁵₃) y³ + (⁵₄) y⁴ + (⁵₅) y⁵ = 1.1 + 5/1 y + 5.4/1.2 y² + 5.4.3/1.2.3 y³ + 5.4.3.2/1.2.3.4 y⁴ + 1.y⁵ = 1 + 5y + 10y² + 10y³ + 5y⁴ + y⁵ (Ans.) i. (1 – y)⁵ = (5 0) (– y)⁰ + (5 1) (– y)¹ + (5 2) (– y)² + (5 3) (– y)³ + (⁵₄)(– y)⁴ + (⁵₅)(– y)⁵ = 1.1 + 5/1 (– y) + 5.4/1.2 (– y)² + 5.4.3/1.2.3 (– y)³ + 5.4.3.2/1.2.3.4 (– y)⁴ + 1(– y)⁵ = 1 – 5y + 10y² – 10y³ + 5y⁴ – y⁵ (Ans.) ii. (1 + 2x)⁵ = (5 0) (2x)⁰ + (5 1) (2x)¹ + (5 2) (2x)² + (5 3) (2x)³ + (⁵₄)(2x)⁴ + (⁵₅)(2x)⁵ = 1.1 + 5/1 2x + 5.4/1.2 4x² + 5.4.3/1.2.3 8x³ + 5.4.3.2/1.2.3.4 16x⁴ + 32x⁵ = 1 + 10x + 40x² + 80x³ + 80x⁴ + 32x⁵ (Ans.)

উত্তর: দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে- (1 + x²)⁸ = (⁸₀)(x²)⁰ + (⁸₁)(x²)¹ + (⁸₂)(x²)² + (⁸₃)(x²)³ + ... = 1.1 + 8/1 x² + 8.7/1.2 x⁴ + 8.7.6/1.2.3 x⁶ + ......... = 1 + 8x² + 28x⁴ + 56x⁶ + ......... নির্ণেয় বিস্তৃতি (1 + x²)⁸ = 1 + 8x² + 28x⁴ + 56x⁶ + ............ এখন উক্ত বিস্তৃতিতে x = 0.1 বসিয়ে পাই {1 + (0.1)²}⁸ = 1 + 8(0.1)² + 28(0.1)⁴ + 56(0.1)⁶ + ......... বা, (1 + 0.01)⁸ = 1 + 0.08 + 0.0028 + 0.000056 + ............ = 1.082856 (Ans.)