৩. সরলরেখা (Straight lines)

ব্যাখ্যা: (x − 2)² + (y + 1)² = 4² বা, x² + y² − 4x + 2y + 5 = 16 ∴ x² + y² − 4x + 2y − 11 = 0

ব্যাখ্যা: r = √1 + 3 = 2; বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে, তাই θ = π − tan⁻¹√3 = π − π/3 = 2π/3 ∴ পোলার স্থানাঙ্ক (2, 2π/3)

ব্যাখ্যা: (a,0) ও (0,b) বিন্দুগামী রেখা x/a + y/b = 1; (1,1) এই রেখায় থাকলে 1/a + 1/b = 1

ব্যাখ্যা: দূরত্ব = √3 + 1 = 2; tanθ = 1/√3 ⇒ θ = π/6, তাই পোলার স্থানাঙ্ক (2, π/6); ঢাল = (1 − 0)/(√3 − 0) = 1/√3। তিনটিই সঠিক।

ব্যাখ্যা: x/(24/11) + y/6 = 1; x-অক্ষের খন্ডিতাংশ 24/11, y-অক্ষের খন্ডিতাংশ 6। ক্ষেত্রফল = ½ × 24/11 × 6 = 72/11 বর্গ একক। তিনটিই সঠিক।

ক) মনে করি, বিন্দুদয় A(8,5) ও B(-4,-3) এবং AB রেখাংশের বিন্দু M((8 − 4)/2,(5 − 3)/2) বা, M(2,1) তাহলে M(2,1) বিন্দুগামী এবং AB রেখার সাথে লম্ব এরুপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। AB রেখা সমীকরণ (y − 5)/(5 + 3) = (x − 8)/(8 + 4) বা, (y − 5)/8 = (x − 8)/12 বা, 3(y - 5)=2 (x - 8) বা, 2x – 3y – 1 = 0 এখন AB এর ওপর লম্ব এরুপ রেখার সমীকরণ: 3x + 2y + k = 0……(i) যেখানে k একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক। এই রেখাটি M(2,1) বিন্দুগামী হলে, 3 ×2 + 2 × 1 + k = 0 বা, k = −8 k এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই 3x + 2y – 8 = 0; যা নির্ণেয় সমীকরণ। (Ans)

খ) চিত্রনুসারে, AB ও CD সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ। ধরি, সামান্তরিকের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু D(x, y ) AB কর্ণের মধবিন্দু ((8 − 4)/2,(5 − 3)/2) অর্থাৎ (2,1) CD কর্ণের মধ্যবিন্দু ((x + 5)/2,(y + 6)/2) যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু একই এবং উহা উভয়ের মধবিন্দু। কাজেই, (x + 5)/2=2 এবং (y + 6)/2=1 বা, x + 5 = 4 বা, y + 6 = 2 ∴x = −1∴y = −4 চতুর্থ শীর্ষবিন্দুতে স্থানাঙ্ক D(-1,-4) ABCD বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিক অনুসারে নিয়ে ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 8 5

গ) AC রেখার সমীকরণ, (y − 5)/(5 − 6) = (x − 8)/(8 − 5) বা, 3(y – 5) = -(x – 8) বা, 3y – 15 + x- 8 = 0 ∴x + 3y − 23 = 0....(i) (i) নং রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ, 3x - y + k = 0.,….(ii) (ii) নং রেখা (-1, 7) বিন্দুগামী। সুতরাং, - 3 – 7 + k = 0 ∴k = 10 ∴ (ii) নং থেকে পাই, 3x – y + 10 = 0 …(iii) তাহলে, (i) ও (iii) নং এর ছেদবিন্দুই নির্ণেয় লম্বেও পাদবিন্দু। (i) ও (iii) নং হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, x/(30 − 23) = y/(−69 − 10) = 1/(−1 − 9) বা, x/7 = y/79 = 1/−10∴x = −7/10 ও y = −79/−10 = 79/10 নির্ণেয় পাদবিন্দু (−7/10,79/10)(Ans.)

উত্তর: মনে করি, বিন্দুদয় A(8,5) ও B(-4,-3) এবং AB রেখাংশের বিন্দু M((8 − 4)/2,(5 − 3)/2) বা, M(2,1) তাহলে M(2,1) বিন্দুগামী এবং AB রেখার সাথে লম্ব এরুপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। AB রেখা সমীকরণ (y − 5)/(5 + 3) = (x − 8)/(8 + 4) বা, (y − 5)/8 = (x − 8)/12 বা, 3(y - 5)=2 (x - 8) বা, 2x – 3y – 1 = 0 এখন AB এর ওপর লম্ব এরুপ রেখার সমীকরণ: 3x + 2y + k = 0……(i) যেখানে k একটি ইচ্ছামূলক ধ্রুবক। এই রেখাটি M(2,1) বিন্দুগামী হলে, 3 ×2 + 2 × 1 + k = 0 বা, k = −8 k এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই 3x + 2y – 8 = 0; যা নির্ণেয় সমীকরণ। (Ans)

উত্তর: AB রেখার ঢাল = (5 − 0)/(0 − 12) = −(5/12)(Ans.)