২. সেট ও ফাংশন

ক) এখানে, U = {x : x ∈ ℤ এবং x² < 10} এখানে, x সকল পূর্ণসংখ্যা সুতরাং x = 0 হলে, x² = 0 যা শর্তে মানে x = 1 হলে, x² = 1 যা শর্তে মানে x = − 1 হলে, x² = 1 যা শর্তে মানে x = 2 হলে, x² = 4 যা শর্তে মানে x = − 2 হলে, x² = 4 যা শর্তে মানে x = 3 হলে, x² = 9 যা শর্তে মানে x = − 3 হলে, x² = 9 যা শর্তে মানে x = 4 হলে, x² = 16 যা শর্তে মানে x = − 4 হলে, x² = 16 যা শর্তে মানে অতএব, U = {− 3, − 2, − 1, ,0, 1, 2, 3} (Ans.)

খ) দেওয়া আছে, A = {x : x, 12 এর প্রকৃত গুণনীয়ক} 12 এর গুণনীয়কগুলো হলো = 1, 2, 3, 4, 6, 12} সুতরাং A = {x : x, 12 এর গুণনীয়ক} = {1, 2, 3} আবার, B = {x ∈ : x² − 3x + 2 = 0} এখন, x² − 3x + 2 = 0 বা, x² − 2x − x + 2 = 0 বা, x(x − 2) −1(x − 2) = 0 বা, (x − 2) (x − 1) = 0 হয়, x − 2 = 0 অথবা, x − 1 = 0 ∴ x = 2 ∴ x = 1 যেহেতু x ∈ ∴ B = {1, 2) এখন, A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {1, 2} = {1, 2, 3} A′ = U − A = {− 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3} − {1, 2, 3} = {− 3, − 2, − 1, 0} B′ = U − B = {− 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3} − {1, 2} = {− 3, − 2, − 1, 0, 3} বামপক্ষ = (A ∪ B)′ = U − (A ∪ B) = {− 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3} − {1, 2, 3} = {− 3, − 2, − 1, 0} ডানপক্ষ = A′ ∩ B′ = {− 3, − 2, − 1, 0} ∩ {− 3, − 2, − 1, 0, 3} = {− 3, − 2, − 1, 0} ∴ (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ (সত্যতা যাচাই করা হলো)

গ) C = {0, 1, 2, 3} P(C) = {{0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1 , 3}, {0, 1, 2, 3}, ∅} এখানে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 16টি এখানে C সেটের উপাদান সংখ্যা = 4 ∴ P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 16 = 2⁴ ∴ C সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ কে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)

উত্তর: যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 9 অপেক্ষা বড় এবং ঘন 130 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট। আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ·········} এখানে, x = 1 হলে, x² = 1² = 1 / 9 এবং x³ = 1³ = 1 < 130 x = 2 হলে, x² = 2² = 4 / 9 এবং x³ = 2³ = 8 < 130 x = 3 হলে, x² = 3² = 9 / 9 এবং x³ = 3³ = 27 < 130 x = 4 হলে, x² = 4² = 16 > 9 এবং x³ = 4³ = 64 < 130 x = 5 হলে, x² = 5² = 25 > 9 এবং x³ = 5³ = 125 < 130 x = 6 হলে, x² = 6² = 36 > 9 এবং x³ = 6³ = 216 / 130 ········································································ ········································································ ∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাগুলো 4, 5 নির্ণেয় সেট = {4, 5} (খ) {x ∈ Z : x² > 5 এবং x² ≤ 36} যে সকল পূর্ণসংখ্যার বর্গ 5 অপেক্ষা বড় এবং 36 অপেক্ষা বড় নয় তাদের সেট। আমরা জানি, পূর্ণসংখ্যার সেট Z = {···· − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 ········} এখানে, x = 0 হলে, x² = 0² = 0 / 5 এবং 0 < 36 x = ±1 হলে, x² = (±1)² = 1 / 5 এবং 1 < 36 x = ±2 হলে, x² = (±2)² = 4 / 5 এবং 4 < 36 x = ±3 হলে, x² = (±3)² = 9 > 5 এবং 9 < 36 x = ±4 হলে, x² = (±4)² = 16 > 5 এবং 16 < 36 x = ±5 হলে, x² = (±5)² = 25 > 5 এবং 25 < 36 x = ±6 হলে, x² = (±6)² = 36 > 5 এবং 36 = 36 x = ±7 হলে, x² = (±7)² = 49 > 5 এবং 49 / 36 ················································································· ················································································· ∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাসমূহ: ±3, ±4, ±5, ±6 নির্ণেয় সেট = {± 3, ±4, ±5, ±6} (গ) {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক } যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক তাদের সেট। আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যা সেট N = (1, 2, 3, 4, 5, ·····) এখানে, 36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6 ∴ 36 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 এবং 6 এর গুণিতকসমূহ 6, 12, 18, 24, 30, 36 ··· ··· ∴ 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতকগুলো হলো যথাক্রমে 6, 12, 18, 36· নির্ণেয় সেট = {6, 12, 18, 36} (ঘ) {x ∈ N : x³ > 25 এবং x⁴ < 264} যেসকল স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন 25 অপেক্ষা ছোট এবং চতুর্ঘাত 264 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট। আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N = (1, 2, 3, 4, 5, 6, ······} এখানে, x = 1 হলে, x³ = 1³ = 1 / 25 এবং x⁴ = 1⁴ = 1 < 264 x = 2 হলে, x³ = 2³ = 8 / 25 এবং x⁴ = 2⁴ = 16 < 264 x = 3 হলে, x³ = 3³ = 27 > 25 এবং x⁴ = 3⁴ = 81 < 264 x = 4 হলে, x³ = 4³ = 64 > 25 এবং x⁴ = 4⁴ = 256 < 264 x = 5 হলে, x³ = 5³ = 125 > 25 এবং x⁴ = 5⁴ = 625 / 264 ········································································ ········································································ ∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ 3, 4· নির্ণেয় সেট = {3, 4}

উত্তর: প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 3, 5, 7, 9, 11 এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যা 1 থেকে বড় এবং 13 থেকে ছোট। নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং 1 < x < 13} (খ) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 36 এর গুণনীয়ক। নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক} (গ) {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40} প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান 4 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ 4 এর গুণিতক এবং 40 এর বড় নয়। নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 40} (ঘ) {± 4, ± 5, ± 6} প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ − 6, − 5, − 4, 4, 5, 6 এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা। বর্গ 16 অপেক্ষা ছোট নয় এবং ঘন 216 অপেক্ষা বড় নয়। নির্ণেয় সেট = {x ∈ Z : x² ≥ 16 এবং x³ ≤ 216}