৩. বীজগণিতীয় রাশি

ক) দেওয়া আছে, p² − 1 = 4p বা, (p² − 1)/p = 4 ∴ p − 1/p = 4 প্রদত্ত রাশি, (p + 1/p)² = (p + 1/p)² + 4p.1/p = (4)² + 4 = 16 + 4 = 20 (Ans.)

খ) দেওয়া আছে, p² − 1 = 4p প্রদত্ত রাশি, = (p³ + 5p)/(p⁴ + 4p² −5) × ³√64 = (p(p² + 5))/(p⁴ + 5p² − p² − 5) × 4 = (p(p² + 5))/(p²(p² + 5) − 1(p² + 5)) × 4 = (p(p² + 5))/((p² + 5) (p² − 1)) × 4 = 4p/((p² − 1)) = 4p/4p [ p² − 1 = 4p] = 1 (Ans.)

গ) 'ক' থেকে পাই, p − 1/p = 4 বা, (p − 1/p)² = 16 [উভয়পক্ষে বর্গ করে] বা, p² + 1/p² − 2.p.1/p = 16 বা, p² + 1/p² = 16 + 2 বা, P² + 1/p² = 18 বা, (p² + 1/p²)² = 18² [পুনরায় উভয়পক্ষে বর্গ করে] বা, p⁴ + 1/p⁴ + 2.p².1/p² = 324 বা, p⁴ = 324 − 2 − 1/p⁴ ∴ p⁴ = 322 − 1/p⁴ (দেখানো হলো)

উত্তর: 2a + 3b এর বর্গ = (2a + 3b)² = (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)² = 4a² + 12ab + 9b² (Ans.) (খ) 2ab + 3bc 2ab + 3bc এর বর্গ = (2ab + 3bc)² = (2ab)² + 2 × 2ab × 3bc + (3bc)² = 4a²b² + 12ab²c + 9b²c² (Ans.) (গ) x² + 2/y² x² + 2/y² এর বর্গ = (x² + 2/y²) ² = (x²)² + 2 × x² × 2/y² + (2/y²) ² = x⁴ + 4x²/y² + 4/y⁴ (Ans.) (ঘ) a + 1/a a + 1/a এর বর্গ = (a + 1/a) ²= a² + 2 × a × 1/a + (1/a) ² = a² + 2 + 1/a² (Ans.) (ঙ) 4y − 5x 4y − 5x এর বর্গ = (4y − 5x)² = (4y)² − 2 × 4y × 5x + (5x)² = 16y² − 40xy + 25x² (Ans.) (চ) ab − c ab − c এর বর্গ = (ab − c)² = (ab)² −2 × ab × c + (c)² = a²b² − 2abc + c² (Ans.) (ছ) 5x²− y 5x² − y এর বর্গ = (5x² − y)² = (5x²)² − 2 × 5x² × y + (y)² = 25x⁴ − 10x²y + y² (Ans.) (জ) x + 2y + 4z x + 2y + 4z এর বর্গ = (x + 2y + 4z)² = {(x + 2y) + 4z}² = (x + 2y)² + 2 × (x + 2y) × 4z + (4z)² = x² + 2 × x × 2y + (2y)² + 8zx + 16yz + 16z² = x² + 4xy + 4y² + 8zx + 16yz + 16z² = x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx (Ans.) (ঝ) 3p + 4q − 5r 3p + 4q − 5r এর বর্গ = (3p + 4q − 5r)² = {(3p + 4q) − 5r}² = (3p + 4q )² − 2 × (3p + 4q) × 5r + (5r)² = (3p)² + 2 × 3p × 4q + (4q)² − 10r (3p + 4q) + 25r² = 9p² + 24pq + 16q² − 30pr − 40qr + 25r² = 9p² + 16q² + 25r² + 24pq − 40qr − 30pr (Ans.) (ঞ) 3b − 5c − 2a 3b − 5c − 2a এর বর্গ = (3b − 5c − 2a)² = {(3b − 5c) − 2a}² = (3b − 5c)² − 2 × (3b − 5c) × 2a + (2a)² = (3b)² − 2 × 3b × 5c + (5c)² − (3b − 5c) × 4a + 4a² = 9b² − 30bc + 25c² − 12ab + 20ca + 4a² = 4a² + 9b² + 25c² − 12ab − 30bc + 20ca (Ans.) (ট) ax − by − cz ax − by − cz এর বর্গ = (ax − by − cz)² = {(ax − by)² − cz}² = (ax − by)² − 2 × (ax − by) × cz + (cz)² = (ax)² − 2 × ax × by + (by)² − (ax − by) × 2cz + c²z² = a²x² − 2abxy + b²y² − 2cazx + 2bcyz + c²z² = a²x² + b²y² + c²z² − 2abxy + 2bcyz − 2cazx (Ans.) (ঠ) a − b + c − d a − b + c − d এর বর্গ = (a − b + c − d)² = {(a − b) + (c − d)}² = (a − b)² + 2 × (a − b) × (c − d) + (c − d)² = a² − 2 × a × b + b² + 2(a − b) (c − d) + c² − 2 × c × d + d² = a² − 2ab + b² + 2ac − 2ad − 2bc + 2bd + c² − 2cd + d² = a² + b² + c² + d² − 2ab + 2ac − 2ad − 2bc + 2bd − 2cd (Ans.) (ড) 2a + 3x − 2y − 5z 2a + 3x − 2y − 5z এর বর্গ = (2a + 3x − 2y − 5z)² = {(2a + 3x) − (2y + 5z)}² = (2a + 3x)² − 2 × (2a + 3x) × (2y + 5z) + (2y + 5z)² = (2a)² + 2 × 2a × 3x + (3x)² − 2(2a + 3x) (2y + 5z) + (2y)² + 2 × 2y × 5z + (5z)² = 4a² + 12ax + 9x² − 2(4ay + 10az + 6xy + 15xz) + 4y² + 20yz + 25z² = 4a² + 12ax + 9x² − 8ay − 20az − 12xy − 30xz + 4y² + 20yz + 25z² = 4a² + 9x² + 4y² + 25z² + 12ax − 8ay − 20az − 12xy − 30xz + 20yz (Ans.) (ঢ) 101 101 এর বর্গ = (101)² = (100 + 1)² = (100)² + 2 × 100 × 1 + (1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201 (Ans.) (ণ) 997 997 এর বর্গ = (997)² = (1000 − 3)² = (1000)² − 2 × 1000 × 3 + (3)² = 1000000 − 6000 + 9 = 994009 (Ans.) (ত) 1007 1007 এর বর্গ = (1007)² = (1000 + 7)² = (1000)² + 2 × 1000 × 7 + (7)² = 1000000 + 14000 + 49 = 1014049 (Ans.)

উত্তর: ধরি, 2a + 7 = x এবং 2a − 7 = y ∴ প্রদত্ত রাশি = x² + 2.x.y + y² = x² + 2xy + y² = (x + y)² = {(2a + 7) + (2a −7)}² [মান বসিয়ে] = (2a + 7 + 2a − 7)² = (4a)² = 16a² (Ans.) (খ) (3x + 2y)² + 2(3x + 2y) (3x − 2y) + (3x − 2y)² ধরি, 3x + 2y = a এবং 3x − 2y = b ∴ প্রদত্ত রাশি = a² + 2. a. b + b² = a² + 2ab + b² = (a + b)² = {(3x + 2y) + (3x − 2y)}² [মান বসিয়ে] = (3x + 2y + 3x − 2y)² = (6x)² = 36x² (Ans.) (গ) (7p + 3r − 5x)² − 2 (7p + 3r − 5x) (8p − 4r − 5x) + (8p − 4r − 5x)² ধরি, 7p + 3r − 5x = a এবং 8p − 4r − 5x = b ∴ প্রদত্ত রাশি = a² − 2ab + b² = (a − b)² = {(7p + 3r − 5x) − (8p − 4r − 5x)}² [ a ও b এর মান বসিয়ে] = (7p + 3r − 5x − 8p + 4r + 5x)² = (− p + 7r)² = ( − p)² + 2 × (− p) × (7r) + (7r)² = p² −14pr + 49r² = p² + 49r² − 14pr (Ans.) (ঘ) (2m + 3n − p)² + (2m − 3n + p)² − 2(2m + 3n − p)(2m − 3n + p) ধরি, 2m + 3n − p = a এবং 2m − 3n + p = b ∴ প্রদত্ত রাশি = a² + b² − 2.a.b = (a − b)² = {(2m + 3n − p) − (2m −3n + p)}² [a ও b এর মান বসিয়ে] = (2m + 3n − p − 2m + 3n − p)² = (6n − 2p)² = (6n)² − 2 × 6n × 2p + (2p)² = 36n² − 24np + 4p² (Ans.) (ঙ) 6·35 × 6·35 + 2 × 6·35 × 3·65 + 3·65 × 3·65 ধরি, 6·35 = a এবং 3·65 = b ∴ প্রদত্ত রাশি = a × a + 2 × a × b + b × b = a² + 2ab + b² = (a + b)² = (6·35 + 3·65)² [a ও b এর মান বসিয়ে] = (10)² = 100 (Ans.) (চ) 5874 × 5874 + 3774 × 3774 − 7548 × 5874 5874 × 5874 + 3774 × 3774 − 7548 × 5874 = (5874)² + (3774)² − 2 × 5874 × 3774 ধরি, 5874 = a এবং 3774 = b ∴ প্রদত্ত রাশি = a² + b² − 2ab = (a − b)² = (5874 − 3774)² [a ও b এর মান বসিয়ে] = (2100)² = 4410000 (Ans.) (ছ) (7529 × 7529 − 7519 × 7519)/(7529 + 7519) ধরি, 7529 = a এবং 7519 = b ∴ প্রদত্ত রাশি = (a × a − b × b)/(a + b) = (a² − b²)/(a + b) = ((a + b) (a − b))/((a + b)) = (a − b) = (7529 − 7519) [a ও b এর মান বসিয়ে] = 10 (Ans.) (জ) (2345 × 2345 − 759 × 759)/(2345 − 759) ধরি, 2345 = a এবং 759 = b ∴ প্রদত্ত রাশি = (a × a − b × b)/(a − b) = (a² − b²)/(a − b) = ((a + b) (a − b))/((a − b)) = (a + b) = (2345 + 759) [a ও b এর মান বসিয়ে] = 3104 (Ans.)