ক) (i) ও (ii) নং সমীকরণ : ax + by = c এবং ax + by = ab
x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত a/a = 1, y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত b/b = 1, ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত c/(ab)
এখানে, a/a = b/b ≠ c/(ab) [c ≠ ab হলে]
অর্থাৎ একই রাশি ax + by এর মান একসাথে c ও ab (দুইটি ভিন্ন মান) হতে পারে না।
∴ (i) ও (ii) নং সমীকরণ সঙ্গতিপূর্ণ নয় (অসমঞ্জস); এদের কোনো সমাধান নেই।
[c = ab হলে সমীকরণ দুইটি একই হয় এবং অসংখ্য সমাধান থাকে।]
খ) (i) ও (iii) নং সমীকরণ :
ax + by = c ............ (i)
a²x + b²y = c² ............ (iii)
(i) কে b দ্বারা গুণ করে পাই, abx + b²y = bc ............ (v)
(v) থেকে (iii) বিয়োগ করে পাই,
abx − a²x = bc − c²
বা, ax(b − a) = c(b − c)
∴ x = (c(b − c))/(a(b − a))
আবার, (i) কে a দ্বারা গুণ করে পাই, a²x + aby = ac ............ (vi)
(iii) থেকে (vi) বিয়োগ করে পাই,
b²y − aby = c² − ac
বা, by(b − a) = c(c − a)
∴ y = (c(c − a))/(b(b − a))
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = ((c(b − c))/(a(b − a)), (c(c − a))/(b(b − a)))
গ) (ii) ও (iv) নং সমীকরণ :
ax + by = ab ............ (ii)
bx + ay = ab ............ (iv)
(ii) থেকে (iv) বিয়োগ করে পাই,
ax − bx + by − ay = 0
বা, x(a − b) − y(a − b) = 0
বা, (a − b)(x − y) = 0
∴ x − y = 0 [a ≠ b ধরে]
বা, x = y
(ii) নং এ y = x বসিয়ে পাই,
ax + bx = ab
বা, x(a + b) = ab
∴ x = ab/(a + b)
∴ y = x = ab/(a + b)
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = (ab/(a + b), ab/(a + b))
