১৪. অনুপাত, সদৃশতা ও সমতা

ক) মনে করি, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC ও DEF এর ভূমি যথাক্রমে BC ও EF এবং উচ্চতা যথাক্রমে AH ও DG যেখানে, AH = DG = h সুতরাং ΔABC : ΔDEF = (1/2 × BC × AH) : (1/2 × EF × DG) = (BC × h) : (EF × h) = BC : EF ∴ ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান। (দেখানো হলো)

খ) PQ রেখাংশ AB ও AC বাহুদ্বয়কে অথবা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে, AP : BP = AQ : CQ অঙ্কন : P, C ও Q, B যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা (১) ΔAPQ ও ΔBPQ একই উচ্চতা বিশিষ্ট। ['ক' এর প্রমাণ] ∴ ΔAPQ/ΔBPQ = AP/BP (২) আবার, ΔAPQ ও ΔCPQ একই উচ্চতা বিশিষ্ট। ∴ ΔAPQ/ΔCPQ = AQ/CQ ['ক' এর প্রমাণ] (৩) কিন্তু ΔBPQ = ΔCPQ [একই ভূমি PQ ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত] ∴ ΔAPQ/ΔBPQ = ΔAPQ/ΔCPQ (৪) অতএব, AP/BP = AQ/CQ অর্থাৎ, AP : BP = AQ : CQ

গ) দেওয়া আছে, AB = 6 সে.মি. 'খ' থেকে আমরা পাই, (চিত্র-১) AP : BP = AQ : CQ বা, AP/BP = AQ/CQ বা, BP/AP = CQ/AQ [বিপরীতকরণ করে] বা, (BP + AP)/AP = (CQ + AQ)/AQ [যোজন করে] বা, AB/AP = AC/AQ বা, AQ = (AC × AP)/AB = (4 × 2)/6 সে.মি. = 1.3 সে.মি. ∴ AQ = 1.3 সে.মি.

উত্তর: বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ΔABC এর ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বিপরীত বাহু AC ও AB কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে XY ভূমি BC এর সমান্তরাল। প্রমাণ করতে হবে যে, ΔABC সমদ্বিবাহু অর্থাৎ, AB = AC. অঙ্কন : X, Y যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) ΔABC এর ∠B এর সমদ্বিখণ্ডক BX ∴ AB : BC = AX : XC ..........(i) [উপপাদ্য ৩] (২) আবার, ΔABC এ ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক CY ∴ AC : CB = AY : YB ..........(ii) [উপপাদ্য ৩] (৩) যেহেতু XY || BC ∴ AX : XC = AY : YB ..........(iii) [উপপাদ্য ১] (৪) অতএব, AC : CB = AX : XC....(iv) [(ii) ও (iii) থেকে] (৫) তাহলে, AB : BC = AC : CB [(i) ও (iv) থেকে] বা, AB : BC = AC : BC ∴ AB = AC সুতরাং ΔABC সমদ্বিবাহু। (প্রমাণিত)

উত্তর: সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, কতকগুলো পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখাকে দুইটি সরলরেখা ছেদ করলে অনুরূপ অংশগুলো সমানুপাতিক হবে। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, AB, CD ও EF তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা। GH ও PQ সরলরেখা দুইটি উক্ত সরলরেখা তিনটিকে যথাক্রমে K, L, M ও R, S, T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, KL : LM = RS : ST অঙ্কন : K, T যোগ করি। KT রেখা CD কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) ΔKMT এ LO || MT [উপপাদ্য ১] ∴ KL : LM = KO : OT ..........(i) (২) আবার, ΔTKR এ OS || KR [উপপাদ্য ১] ∴ KO : OT = RS : ST ..........(ii) (৩) অতএব KL : LM = RS : ST [(i) ও (ii) থেকে] (প্রমাণিত)