১৫. ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য

ব্যাখ্যা: 5² + 7² ≠ 9²

ব্যাখ্যা: (ii) সঠিক নয়। কারণ- দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলে সর্বসম নাও হতে পারে।

ব্যাখ্যা: AB = BC = AC = 2 ∴ BD = 1/2 BC = 1/2 × 2 = 1

ব্যাখ্যা: ABC সমকোণী ত্রিভুজ হতে, AD = √AB² − BD² = √2² − 1² = √4 − 1 = √3

ক) নিম্নে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী চিত্রটি আঁক হলো। এখানে, PQR একটি ত্রিভুজ, যার ∠P = এক সমকোণ এবং অতিভুজ QR এর মধ্যবিন্দু S.

খ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠P = 90° অতিভুজ QR = b, PR = c এবং PQ = a. প্রমাণ করতে হবে যে, QR² = PQ² + PR², অর্থাৎ b² = c² + a² অঙ্কন : PQ কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন QD = PR = c হয়। D বিন্দুতে বর্ধিত PQ এর উপর DE লম্ব আঁকি, যেন DE = PQ = a হয়। Q, E ও R, E যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) ΔPQR ও ΔQDE এ PQ = QD = c, PQ = DE = a এবং অন্তর্ভুক্ত ∠RPQ = অন্তর্ভুক্ত ∠QDE [প্রত্যেকে সমকোণ] সুতরাং, ΔPQR ≅ ΔQDE [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] ∴ RQ = QE = b এবং ∠PRQ = ∠EQD (২) আবার, PR ⊥ PD এবং ED ⊥ PD এবং PR || ED. সুতরাং RPDE একটি ট্রাপিজিয়াম। (৩) তদুপরি, ∠RQP + ∠PRQ = ∠RQP + ∠EQD [∵∠PRQ = ∠EQD] = এক সমকোণ। ∴ ∠RQE = এক সমকোণ। ∴ ΔRQE সমকোণী ত্রিভুজ। এখন RPDE ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (Δ ক্ষেত্র PQR + Δ ক্ষেত্র QDE + Δ ক্ষেত্র RQE) বা, 1/2 (PDRP + DE) = 1/2 ac + 1/2 ac + 1/2 b² [ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের বা, 1/2 (PQ + QD)(RP + DE) = 1/2 (2ac + b²) ক্ষেত্রফল = 1/2 সমান্তরাল বা, (a + c)(a + c) = 2ac + b² বাহুদ্বয়ের যোগফল × বা, a² + 2ac + c² = 2ac + b² সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বা, b² = c² + a² মধ্যবর্তী দূরত্ব] অর্থাৎ QR² = PQ² + PR² (প্রমাণিত)

গ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ΔPQR এর ∠P = এক সমকোণ এবং অতিভুজ QR এর মধ্যবিন্দু S. প্রমাণ করতে হবে যে, PS এর দৈর্ঘ্য QR এর অর্ধেক। PS = 1/2 RQ. অঙ্কন : F, PR এর এবং E, PQ এর মধ্যবিন্দু নির্ণয় করি। F, S ও E, S যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) FS, RQ এবং RP এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ∴ FS || PE (২) আবার, SE, PQ এবং RQ এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ∴ SE || RP এখন, ∠RFS = ∠P [অনুরূপ কোণ] তাহলে, ∠SEP = এক সমকোণ (৩) ΔRFS ও ΔPFS ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে RF = PF [অঙ্কানুসারে] FS সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত ∠RFS = অন্তর্ভুক্ত ∠PFS [সমকোণ বলে] ∴ ΔRFS = ΔPFS অতএব, ∠FRS = ∠FPS (৪) ΔRPS-এ ∠SRP = ∠RPS [সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ] RS = PS (৫) এরূপে, ΔPSE ও ΔQSE নিয়ে প্রমাণ করা যায় যে, PS = QS ∴ PS + PS = RS + QS বা, 2PS = RQ বা, PS = 1/2 QR ∴ PS এর দৈর্ঘ্য QR এর অর্ধেক। (প্রমাণিত)

উত্তর: সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক। এর AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে চারটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, Δ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র BOC = ∆ ক্ষেত্র COD = ∆ ক্ষেত্র AOD প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∴ OB = OD এবং OA = OC (২) ∆BDC এ OC, BD এর উপর মধ্যমা। ∴ Δ ক্ষেত্র COD = ∆ ক্ষেত্র BOC ....(i) (৩) ∆ABC এ OB, AC এর উপর মধ্যমা হওয়ায় Δ ক্ষেত্র BOC = ∆ ক্ষেত্র AOB .............(ii) (৪) AO, BD এর উপর ∆ABD এর মধ্যমা হলে, Δ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র AOD ..............(iii) (i), (ii) ও (iii) নং হতে পাই, ∴ Δ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র BOC = Δ ক্ষেত্র COD = Δ ক্ষেত্র AOD (প্রমাণিত) [সামান্তরিকের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] [ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রবিশিষ্ট দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে] [একই] [একই]

উত্তর: সাধারণ নির্বচন : ত্রিভুজের যেকোনো মধ্যমা ত্রিভুজক্ষেত্রটিকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ∆ABC এর AD, BC এর উপর মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, ∆ ক্ষেত্র ABD = ∆ ক্ষেত্র ACD। অঙ্কন : A হতে BC এর উপর AH লম্ব টানি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (১) D, BC এর মধ্যবিন্দু। BD = CD [AD, BC–এর উপর মধ্যমা] (২) ∆ ক্ষেত্র ABD = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা [AH = h উচ্চতা] = 1/2 × BD × AH = 1/2 × BD × h (৩) ∆ ক্ষেত্র ACD = 1/2 × CD × h [ধাপ (২) অনুসারে] = 1/2 × BD × h [ BD = CD] ∴ ∆ ক্ষেত্র ABD = ∆ ক্ষেত্র ACD (প্রমাণিত)