৩. জ্যামিতি

ক) ABC ত্রিভুজের ∠C স্থূলকোণ BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করে BD ⊥ AD আঁকি। সুতরাং, BC বাহুর উপর AC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ CD।

খ) প্রমাণ : BC বাহুর বর্ধিতাংশের উপর AC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ CD হওয়ায় ΔABD একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠ADB সমকোণ। সুতরাং পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, AB² = AD² + BD² = AD² + (BC + CD)² [ BD = BC + CD] = AD² + BC² + CD² + 2BC.CD ∴ AB² = AD² + CD² + BC² + 2BC.CD ..............(i) আবার, ΔACD সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠ADC সমকোণ ∴ AC² = AD² + CD² ......................(ii) সমীকরণ (ii) হতে AD² + CD² এর মান (i) এ AB² = AC² + BC² + 2BC.CD (প্রমাণিত)

গ) মনে করি, ΔABC এর মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে AD, BE ও CF পরস্পর P বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB² + BC² + CA² = 3(PA² + PB² + PC²) প্রমাণ : ΔABC এর AD, BE ও CF তিনটি মধ্যমা। ∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে, AB² + CA² = 2(AD² + BD²) ....................(i) AB² + BC² = 2(BE² + CE²) ......................(ii) এবং BC² + CA² = 2(CF² + BF²) ...............(iii) এখন, সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) যোগ করে পাই, 2AB² + 2BC² + 2CA² = 2AD² + 2BD² + 2BE² + 2CE² + 2CF² + 2BF² বা, 2(AB² + BC² + CA²) = 2(AD² + BE² + CF²) + 2(BD² + CE² + BF²) বা, 4(AB² + BC² + CA²) = 4(AD² + BE² + CF²) + 4(BD² + CE² + BF²) [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে] বা, 4(AB² + BC² + CA²) = 4(AD² + BE² + CF²) + (2BD)² + (2CE)² + (2BF)² বা, 4(AB² + BC² + CA²) = 4(AD² + BE² + CF²) + BC² + CA² + AB² [D, E, F যথাক্রমে BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু বলে, 2BD = BC, 2CE = CA, 2BF = AB] বা, 3(AB² + BC² + CA²) = 4(AD² + BE² + CF²) ∴ 3(AB² + BC² + CA2²) = 4AD² + 4BE² + 4CF² ........(iv) আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো সমপাত বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে। ∴ AP/PD = 2/1 বা, PD/AP = 1/2 [ব্যস্তকরণ করে] বা, (PD + AP)/AP = (1 + 2)/2 [যোজন করে] বা, AD/AP = 3/2 বা, 2AD = 3AP ∴ 4AD² = 9AP² [বর্গ করে] অনুরূপে, 4BE² = 9BP² এবং 4CF² = 9 CP² সুতরাং সমীকরণ (iv) থেকে পাই, 3(AB² + BC² + CA²) = 9 AP² + 9BP² + 9CP² বা, 3(AB² + BC² + CA²) = 9(PA² + PB² + PC²) ∴ AB² + BC² + CA² = 3(PA² + PB² + PC²) (প্রমাণিত)

উত্তর: দেওয়া আছে, ΔABC-এ ∠B = 60°। প্রমাণ করতে হবে যে, AC² = AB² + BC² − AB.BC অঙ্কন : A বিন্দু থেকে BC এর উপর AD লম্ব আঁকি। প্রমাণ : ΔABD-এ cos 60° = BD/AB বা, 1/2 = BD/AB[ cos 60° = 1/2] বা, AB = 2BD এখন, ΔADC-এ ∠ADC সমকোণ। ∴ AC² = AD² + CD² [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী] বা, AC² = AD² + (BC − BD)² বা, AC² = AD² + BC² + BD² − 2BD.BC বা, AC² = AD² + BD² + BC² − AB.BC [ 2BD = AB] আবার, ΔABD-এ ∠ADB সমকোণ। ∴ AB² = AD² + BD² অতএব, AC² = AB² + BC² − AB.BC (প্রমাণিত)

উত্তর: দেওয়া আছে, ΔABC এর ∠B = 120°। প্রমাণ করতে হবে যে, AC² = AB² + BC² + AB.BC অঙ্কন : CB এর বর্ধিতাংশের উপর AD লম্ব টানি। প্রমাণ : ΔABC এর, ∠ABC = 120° অর্থাৎ একটি স্থূলকোণ ∴ AC² = AB² + BC² + 2BC.BD. ..............(i) CD সরলরেখার উপর ∠ABC ও ∠ABD দুইটি সন্নিহিত কোণ ∴∠ABC + ABD = 180° বা, 120° + ∠ABD = 180° বা, ∠ABD = 180° − 120° ∴ ∠ABD = 60° এখন সমকোণী ΔABD এর ভূমি = BD এবং অতিভুজ = AB। ∴ cos ∠ABD = BD/AB[ cos θ = (ভূমি)/অতিভুজ] বা, cos 60° = BD/AB বা, 1/2 = BD/AB ∴ BD = 1/2 AB (i) নং-এ BD এর মান বসিয়ে পাই, AC² = AB² + BC² + 2BC. 1/2 AB ∴ AC² = AB² + BC² + AB.BC (প্রমাণিত)